1º de ESO: examen de los Inocentes

Estoy seguro de que a estas alturas tenéis claro cuál es mi personaje navideño favorito, Herodes el Grande, un gran gobernante maltratado injustamente por la Historia (lo de decidir matar a unos cuantos niños es algo que nos puede pasar a cualquiera; yo mismo... a veces... algunas clases a última hora...):

Quiero que:

- Hagáis este examen (hoy mejor que mañana; solos; podéis repasar vuestros apuntes). No hemos trabajado en clase operaciones como las dos últimas del ejercicio 1, la i) y la j), pero quiero que os peleéis con ellas a ver qué me hacéis.

Examen de los inocentes

- Lo más importante, al consultar la solución detectéis los fallos en las operaciones y os esforcéis por entender perfectamente los problemas. A la vuelta resolveremos las dudas.

Solución

- Os pongáis nota (corregid a bien o mal) y me contéis en este formulario cómo ha ido la cosa antes de que acabe este año 2020.

Formulario

¡FELIZ DÍA DE LOS INOCENTES!

Espero que hoy no os cuelen más inocentadas aparte de esta: ¡mira que dejaros poner un examen en plenas vacaciones! 😂 ¡Cuánto os queda por aprender mis queridos Australopithecus!

¡Feliz Navidad!

¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2021!

Y os será más próspero cuantas más matemáticas

repaséis en estas fiestas.

Haciendo un poco de trampa con el calendario, mañana celebramos el nacimiento del hombre-Dios de la Ciencia: el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano (que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época) nació:

Isaac Newton

¿Qué es eso del calendario Juliano? (¿De verdad creíais que os iba a felicitar la Navidad sin aprovechar para colaros una historia?).

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:

• 29'5 x 12 meses = 354 días

• 29'5 x 13 meses = 383'5 días

Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2021 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Sería un lío (e imaginaros para los agricultores).

¿Por qué la Semana Santa es un lío?

La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:

• Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.

• 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.

Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años aproximadamente hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

(P.D.) Con nuestro calendario Gregoriano, Newton nació el 4 de enero de 1643.

1º de ESO: mis regalos navideños

En primer lugar tengo el placer y el honor de comunicaros a los de 1º A que tras la 1ª evaluación habéis ascendido en la escala evolutiva de las matemáticas: ya sois unos Australopithecus (no habéis ganado mucho en belleza pero ¡andáis sobre dos patas!).

Estos días quiero que:

- preparéis el examen de recuperación/mejora de la 1ª evaluación que haremos a la vuelta (entrenad con los exámenes que hemos hecho este año),

- cada día hagáis dos Operaciones combinadas con fracciones,

- intentéis resolver los Problemas con fracciones (y os peleéis para entenderlos consultando las Soluciones).

- el próximo 28 de diciembre por la mañana os colgaré el Examen de los Inocentes, que tendrá 10 operaciones combinadas con fracciones y tres problemas (uno básico, uno de la suma y otro del producto).

Reto navideño

Tenéis de plazo para mandar la solución hasta el 6 de enero de 2021 a las 23:59. Entre los que lo resolváis sortearemos un juego de ajedrez (tablero y piezas).

Os cuento:

La Teoría de juegos es una rama de las matemáticas que bajo su nombre recreativo tiene gran importancia en el mundo real, en economía, biología, psicología, informática, etc. Por ejemplo, el famoso matemático John Nash (el de la película Una mente maravillosa) ganó el Premio Nobel de economía por sus investigaciones en Teoría de juegos.

No está relacionado con dicha rama pero también es interesante el estudio para determinar si en un juego hay o no una estrategia ganadora, es decir, una manera de que uno de los jugadores gane siempre. Tres ejemplos famosos son (para los dos últimos no fue fácil demostrarlo):

- en el tres en raya, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.

- en el juego del conecta cuatro, si el jugador que empieza hace las mejores jugadas, gana seguro.

- en el juego de las damas, si los dos jugadores hacen las mejores jugadas, empatan seguro.

Reto del equipo de fútbol.

Imagina que estás con nueve amigos más y vais a jugar un partido de fútbol cinco contra cinco. Otro amigo y tú sois los capitanes y os disponéis a hacer los equipos eligiendo, cada uno de vosotros dos, a cuatro jugadores más para vuestros respectivos equipos. Supongamos que los ponemos en fila como en la imagen:

Las normas para elegir a los jugadores son las siguientes:

- vais a elegir por turno, seleccionando a un jugador cada vez,

- tú eliges primero,

- cada jugador se apartará de la fila al ser elegido,

- en cada turno, el que elige (tú o el otro capitán), sólo puede seleccionar a uno de los dos jugadores que estén en los extremos de la fila. Por ejemplo, la primera vez tú has de decidirte obligatoriamente entre dos jugadores, el 8 y el 1. Supongamos que eliges al 8 (que se apartará de la fila); entonces al otro capitán le tocará elegir entre el jugador 7 y el jugador 1. Y así sucesivamente hasta el final.

Además, y aquí viene lo importante, los dos capitanes conocéis perfectamente cómo juegan al fútbol vuestros ocho amigos: vamos a suponer que llevan escritos en la camiseta los goles que han marcado en los partidos de otros días y que eso mide lo buenos que son:

Naturalmente, tú quieres elegir un equipo que sea mejor (que marque más goles), que el equipo rival que va a elegir el otro capitán.

Vamos a hacer una simulación. Supongamos que las elecciones son:

- tú eliges al jugador 1,
- el otro capitán elige al jugador 2,
- tú eliges al jugador 8,
- el otro capitán elige al jugador 7,
- tú eliges al jugador 6,
- el otro capitán elige al jugador 5,
- tú eliges al jugador 4,
- el otro capitán elige al jugador 3.

Como resultado final los jugadores de tu equipo (12+9+13+14=48 goles en total) son peores que los del rival (18+11+12+9=50 goles).

El reto es: encontrar (la hay) la estrategia que te permite seleccionar seguro a un equipo mejor que el rival.


Aclaraciones:

- Podéis jugar e inspiraros con el ejemplo de la imagen de arriba, pero no estoy pidiendo que deis una solución para esos ocho en concreto, sino una "receta", un algoritmo, una regla para elegir siempre, sean los que sean los ocho jugadores, a un equipo mejor que el rival. Es decir, la regla que deis debería servir también para:

y para cualesquiera otros ocho jugadores.

- La solución es una regla que se puede escribir en una sola frase.

- En realidad hay casos en el que no se puede elegir un equipo mejor que el rival. Por ejemplo, si los ocho jugadores marcasen todos el mismo número de goles,

en ese caso los dos equipos resultantes serían iguales (20 goles cada uno). Vamos a suponer entonces que en realidad el problema es conseguir un equipo mejor o, en algunos casos en que eso no puede ser, que por lo menos sea igual que el rival.

A ver qué tal se os da. Como casi siempre en matemáticas, la solución es muy fácil de entender cuando a uno se la cuentan... lo difícil es encontrarla.


Reto extra.

Es fácil. La siguiente foto fue hecha en el antiguo estadio de "Las Gaunas" hace muuuuuucho tiempo (sus protagonistas iban casi todos a 7º de EGB = 1º de ESO).

El reto consiste en que tenéis que acertar quién es el más guapo, listo, simpático, gracioso, ocurrente, bueno, noble, valiente... de esa foto, y claro, por eso era nada más y nada menos que el capitán.

2º de ESO: introducción al álgebra

 La 2ª evaluación la vamos a dedicar íntegramente al álgebra:

- Tema 5. El anillo de polinomios.

- Tema 6. Ecuaciones.

- Tema 7. Sistemas de ecuaciones.

Aquí os dejo las diapositivas que voy a utilizar en clase a modo de introducción.

Introducción al álgebra

2º de ESO: examen global de la 1ª evaluación

Nota previa: prácticamente no hay vídeo en el que no meta la pata varias veces entre lo que digo o lo que escribo. También me pasa en clase: a veces mi cabeza, mi lengua y mi mano no se coordinan. En el examen de 2º A he detectado tres erratas (y de la tercera no me acuerdo):

- en el ejercicio 5a) he escrito 350 (y naturalmente es 360),

- en el ejercicio 7, al principio (no es relevante), he dicho que es más error la centésima que la décima (obviamente es al revés).

Si detectáis alguna otra en cualquier vídeo, decídmelo para comentarlo.

Quiero que estas navidades machaquéis estos dos exámenes para preparar la recuperación/control/mejora que haremos a la vuelta. Es importante que no os queden dudas:

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

Y lo que os digo siempre: a los que os haya ido bien, a alegrarse y celebrarlo (con moderación); a los que nos os haya ido tan bien como queríais, no pasa nada, esto es muy largo, ¡arriba ese ánimo! Y todos, a seguir trabajando duro.

1º de ESO: examen global de la 1ª evaluación

Quiero que estas navidades machaquéis estos dos exámenes para preparar la recuperación/control/mejora que haremos a la vuelta. Es importante que no os queden dudas:

Examen 1A	Solución

Examen 1C	Solución

Y lo que os digo siempre: a los que os haya ido bien, a alegrarse y celebrarlo (con moderación); a los que nos os haya ido tan bien como queríais, no pasa nada, esto es muy largo, ¡arriba ese ánimo! Y todos, a seguir trabajando duro.

Concurso de fotografía matemática

¡¡100 euros en premios!!

Os cuento:

El Departamento de Matemáticas organiza un concurso fotográfico. Os enlazo las bases (esencialmente se trata de realizar fotografías con motivo matemático; el plazo termina el 30 de abril de 2021):

Bases del concurso

Animaos que seguro que tenéis un artista "matemático" dentro. ¡Dejadlo salir!

(P.D.) Para los que os vengáis arriba, al final de las bases tenéis el enlace a un concurso similar de ámbito nacional.

Mucho ánimo para vuestros padres

Seguro que estos días en los que se acerca el examen global se están acordando mucho de mí. 😂 (La verdad es que me están zumbando un poquito los oídos).

Orgullo

Quiero presumir de una maravillosa alumna a la que los de 2º pronto vais a conocer: LeiLoliLu.

Un fantástico vídeo que transmite la dureza del confinamiento (el minuto 3:49 es un momento terrible: atentos a lo que aparece en la pantalla del ordenador. ¡La madre que la...! 😂).

1º de ESO: examen de potencias y raíces

A darle caña para que no queden dudas. Os recuerdo que... ¡el examen global os espera la próxima semana! 😱

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución

Y cero elevado a cero es...

Ya os he contado alguna vez que el cero es un número que al ser humano le costó asimilar. De hecho los griegos hacían el siguiente razonamiento, "cómo va a existir un símbolo para algo que representa la nada" (aunque a mí se me ocurre que la nada se puede representar escribiendo 1º C 😉). Fueron los matemáticos indios (a Europa llegó vía los musulmanes) los que empezaron a utilizar el cero como número y eligieron el símbolo 0. Y desde entonces ha seguido siendo un número muy "gamberro" en las matemáticas, como vais a comprobar en vuestros próximos años en el instituto y como se pone de manifiesto en el reto que os propuse.

Ese reto no era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, no tanto por su nivel (en sí es una pijadilla) como por el razonamiento lógico y un tanto abstracto que hay detrás. Vamos a ver si consigo explicarme.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. 

A por ello. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que hayáis entendido esto, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. Como ya os he dicho, en ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

1º de ESO. Material del Tema 4: números racionales

En este tema hay dos partes muy diferenciadas:

I) Veremos que las fracciones son una forma de escribir números, por ejemplo, 

0'6 = 6/10 = 3/5

Esto lo desarrollaremos en los tres primeros apartados del tema:

1) Introducción y tareas básicas.

2) Operaciones con fracciones.

3) Operaciones combinadas.

Usaremos este material:

Las fracciones son números

Operaciones combinadas con fracciones

II) Resolveremos problemas que usan las fracciones para comparar una parte y un total. Por ejemplo, podemos decir que en un grupo 3 de cada 5 (es decir, 3/5) son chicas (y 2/5 serían chicos).

4) Problemas básicos con fracciones.

5) El problema de la suma y el producto.

Aquí tenéis una colección de problemas y las soluciones:

Problemas con fracciones

Soluciones

2º de ESO. Material del Tema 4: proporcionalidad y aplicaciones

En este tema vamos a repasar una idea vista en 1º y la vamos a desarrollar un poquito más. Es MUY IMPORTANTE que os esforcéis por entender las cosas y no os centréis en aprender recetas para resolver los problemas.

Seguiremos el siguiente índice:

1) Proporcionalidad simple.

2) Proporcionalidad compuesta.

3) Incrementos y disminuciones.

4) Matemática financiera.

5) Repartos.

Y nuestro objetivo es desenvolvernos con problemas como los de la siguiente:

Hoja de problemas

Soluciones

2º de ESO: examen de potencias y raíces

Nota importante: va por todos pero sobre todo por los que estáis haciendo "tontos" cálculos de si vais a aprobar la evaluación o no. Bajo ningún concepto dejéis de trabajar a diario pensando: "me dedico a las otras asignaturas y ya prepararé la recuperación". La recuperación (recuperaciones, que hay varias hasta junio) se preparan en el día a día. La estáis preparando (o no) ahora mismo.

Este tema ha tenido muy pocas ideas y muchas operaciones. La única manera de pillar nivel es practicar.

Aquí tenéis el control de operaciones que usamos para entrenar:

Control de operaciones

Solución

Y aquí los exámenes:

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

1º de ESO: encuesta

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os cuento las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente cualquier longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a probar con algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En este caso, si es que sí, ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'3333333333... o 0'6666666666666...? Fácilmente (usad la calculadora y dividid 1 entre 3):

Aquí llega la encuesta:

Haz clic para votar en la encuesta

El olimpo de los números

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:

¡Preciosa para un tatuaje!

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 + 0.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 x 1.

p De éste os voy a hablar mucho en el futuro. Os cuento dónde apareció por primera vez:

Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

Hasta aparece en la Biblia:

Diámetro = 10; Longitud = 30 (y pico)

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios (pronto os contaré algo de pasada en 2º). No sé si vais a pillar la idea pero Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:

i Os lo he presentado esta semana. Aquí os lo explica mejor nuestro divulgador favorito:

1º de ESO: preparando el examen de potencias y raíces cuadradas

 Aquí os cuelgo un modelo de examen. Lo resolveremos en clase la semana que viene (todavía os tengo que explicar el apartado de los problemas):

Modelo de examen

Nota: en el ejercicio 5 dice "exprésalos en notación científica". Debería decir: "exprésalos con potencia de 10".

Podéis pegarle un vistazo a exámenes de otros años, aunque no incluyen ejercicios con números negativos (porque eso lo daba después):

Potencias y raíces	Solución

Potencias y raíces	Solución

Y por si tenéis curiosidad, aquí va el examen "de la masacre" 💣:

Potencias y raíces	Solución

2º de ESO: preparando el examen de potencias y raíces

 El plan es el siguiente:

- el primer día de la próxima semana haremos un controlillo de operaciones similar a éste:

Ejemplo de controlillo

Solución

- el segundo día haremos el examen que tendrá un formato parecido al siguiente:

Ejemplo de examen

Vuestra primera demostración "profesional"

La parte más bonita de las matemáticas son las demostraciones, que te propongan un enunciado y tú tengas que demostrar, con lógica, que es cierto. Pero no es una tarea en absoluto fácil para vosotros porque requiere una madurez en el pensamiento abstracto que cuesta tiempo y esfuerzo adquirir. Voy a hacer un intento a ver si alguno le pilláis la gracia.

Pero antes me dejáis haceros una pequeña crítica con la siguiente tabla:

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Porque no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

Reto. (Es muy duro para vosotros; sinceramente -tomadlo como un desafío y dadme en los morros-, no creo que nadie me lo saque). En realidad el 13 no pinta nada. Lo he cogido porque es mi número preferido pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto, ahí va el reto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0? Tenéis hasta el 30 de noviembre a las 23:59 para responder. Otra calculadora en juego.

Pista: si en la anterior demostración usamos el 0 en vez del 13 hay un paso en el que cometeríamos una "ilegalidad" (¿la sabéis encontrar?).

Los números imaginarios

Como os voy a contar estos días en clase, no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo -significa "no existe"-):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad si pensamos en todas las posibilidades:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (sí, el de 1+2+3+...+998+999+1000) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia por aquel entonces, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

Carl Friedrich Gauss

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser conocido como el Príncipe de las matemáticas. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto. Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 136 números naturales. Tenéis de plazo hasta el próximo lunes a las 23:59. Todos los que respondáis correctamente (explicándolo) entraréis en el sorteo de una calculadora.

Nota. Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

1º de ESO: examen de números enteros

Os aseguro a los de 1º C que, matemáticamente hablando, un rato de trabajo intensivo dedicado al examen y consultando la solución es la mejor cosa que podéis hacer este fin de semana. A los de 1º A sólo os tengo que decir una cosa: queridos míos, el martes nos vemos.

Ahí los tenéis:

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución

1º de ESO. Material del Tema 3: potencias y raíces cuadradas

Aquí está el que para mí siempre será "el tema del examen masacre" (recién llegados del cole, segundo examen del curso y va y pasa esto 😂). ¡Tranquilos que desde entonces me ha salido muchísimo mejor y ya debería decir que es "el tema del examen exitoso"!

¿Qué tenemos que hacer para que ocurra esto último? Trabajar duro y a diario. Os cuento el índice que vamos a seguir:

1) Definición. Propiedades básicas de las potencias.

2) Potencias de 10.

3) Raíces cuadradas.

4) Potencias de números negativos.

5) Operaciones combinadas.

6) Problemas.

7) Una cosita extra.

Nuestro objetivo es saber resolver tareas como las de la siguiente hoja:

Hoja de potencias y raíces cuadradas

Por cierto, ¿queréis saber qué paso al día siguiente de que les diese las notas del examen masacre? Pasó esto (pobrecitos míos, ¡qué acojonados tenían que estar!):

2º de ESO. Material del Tema 3: potencias y raíces

Llega un tema en el que no hay mucho que entender pero sí mucho trabajo que hacer para adquirir habilidad. La idea es sencilla: las potencias son una forma cómoda de escribir productos, la notación científica sirve para expresar números muy grandes o muy pequeños y las raíces son la operación inversa de las potencias.

Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición de potencia. Propiedades básicas.

2) Signo de una potencia.

3) Exponentes negativos.

4) Notación científica.

5) Raíces.

6) Operaciones combinadas.

7) Problemas.

Y nuestro objetivo es desenvolvernos con problemas como los de la siguiente:

Hoja de ejercicios de potencias y raíces

2º de ESO: examen de números reales

Os aseguro que, matemáticamente hablando, un rato de trabajo intensivo dedicado al examen y consultando la solución es la mejor cosa que podéis hacer esta misma tarde. 

Ahí los tenéis:

Examen de 2º A	Solución
Examen de 2º C	Solución

El mundillo matemático (III): la gloria

La Medalla Fields

¿Con qué sueña un matemático (aparte de con daros clase a vosotros)? ¿Cómo se gana la inmortalidad? Esencialmente siendo el primero "en cazar una gran presa", en resolver alguno de los grandes problemas de las matemáticas.

¿Cuáles son esos problemas? En el Congreso de París del año 1900 David Hilbert, el matemático más destacado de la época, propuso su famosa lista con los 23 problemas que se consideraron los más importantes del siglo XX.

Lista de Hilbert

En el año 2000, la Unión Matemática Internacional, que aglutina las Academias de Matemáticas de aquellos países que tienen Academia de Matemáticas, hizo una "repetición de la jugada" creando la

Lista de Smale

y el  Clay Mathematics Institute (una organización fundada por un millonario aficionado a las matemáticas) ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguno de los

Siete problemas del milenio

¿De qué van esos problemas? Voy a intentar contaros algo de uno que aparece en las dos listas, el ¿P=NP?, y para eso necesito que antes resolváis los siguientes cuatro problemas a mano.

Importante: para cada uno de ellos tenéis como mucho 5 minutos.

Problema 1: divide 127 entre 7.

Problema 2: comprueba si 127 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.

(Continuará).

El mundillo matemático (II): los más grandes

¿Quiénes son los más grandes matemáticos de la Historia? Voy a reducirlo mucho (son los que están pero no están muchos de los que son):

Arquímedes (s. III a. de C.): unos de los mayores genios de la Antigüedad. Algunos de sus trabajos anticiparon ideas del cálculo infinitesimal que se desarrollaría dos milenios más tarde. Murió asesinado por un soldado romano en el sitio de Siracusa pese a que había órdenes de capturarlo vivo.

Newton (s. XVII): el Dios absoluto de la Ciencia. Su "Philosophiæ naturalis principia mathematica" es la obra científica más importante de la Historia: establece los cimientos de la Física y revoluciona las Matemáticas con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal (otro gran matemático, Leibniz, lo descubrió de forma independiente en la misma época y la polémica fue de órdago).

Euler (s. XVIII): quedarse ciego no le impidió ser el matemático más prolífico de la historia. Trabajó en multitud de campos siendo pionero en muchos de ellos.

Gauss (s. XIX): conocido como el "Príncipe de las Matemáticas" fue posiblemente el último gran matemático capaz de dominar todos los campos: geometría, álgebra, topología, estadística...

¿Y un "poco" más modernos? ¿En los últimos tiempos? Vamos a dejarlo también en cuatro:

Andrew Wiles: demostró en 1993 el Último Teorema de Fermat, que había resistido más de tres siglos a los mejores matemáticos del mundo.

Terence Tao: un ex-niño prodigio ya en la cuarentena. Especialista en Teoría de números, resuelve como si nada problemas inaccesibles para el resto de los mortales. Si hacéis clic en la imagen podéis visitar su blog (el segundo mejor blog de matemáticas del mundo 😂).

Grigori Perelman: muy famoso, por haber demostrado la Conjetura de Poincaré... y por ser un "bicho raro" que vive apartado y renunció a varios premios (y a sus correspondientes millones de dólares).

Maryam Mirzajani: espero que no necesite presentación en este blog. Primera mujer en ganar la Medalla Fields.

¿Y alguno de nuestra tierra? Desgraciadamente España no ha destacado en la historia de la Humanidad por el talento de sus científicos. Entre las honrosas excepciones se encuentra un paisano nuestro, el logroñés:

Julio Rey Pastor

El mundillo matemático (I)

En la antigüedad toda la ciencia (matemáticas, física, biología...) entraba dentro de la consideración de Filosofía (por ejemplo, todos los grandes matemáticos griegos eran filósofos). Con el paso del tiempo se produjo la inevitable especialización y en la actualidad podríamos decir que no existen las matemáticas como una sola ciencia sino como un conjunto de muchas: el álgebra, el análisis, la geometría, la topología, la teoría de números,... y eso es seguir siendo muy general: la mayoría de los matemáticos son especialistas en campos muy determinados, y sólo los muy buenos tienen capacidad para trabajar en varios a la vez.

Clasificación de disciplinas matemáticas de la Unesco

¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción (haberlos haylos), no la regla.

Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:

- lo envían a una revista especializada,
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los llamados referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo,
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:

Su artículo tiene ideas nuevas e interesantes, lo malo es que 

las nuevas no son interesantes y las interesantes no son nuevas.

- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.

¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:

1º de ESO: preparando el examen de números enteros

 El plan es:

- esta semana os explico lo último que nos queda por ver y seguimos practicando operaciones,

- en la primera clase de la semana que viene repasamos. Para ello quiero que antes hagáis estos ejercicios que corregiremos en clase (y nos pondremos nota).

Ejercicios de entrenamiento para el examen

- en la segunda clase (jueves el A y viernes el C), ¡qué emoción, qué ilusión!, hacemos el examen.

2º de ESO: preparando el examen de números reales

 Aquí tenéis ejercicios similares a los que os pondré:

Ejercicios tipo examen

y os cuelgo una hoja de operaciones con fracciones para que practiquéis (tienen solución; son de 1º de ESO; las cosas se complicarán en el próximo tema y estaría bien que os sintieseis cómodos haciendo estos ejercicios):

Operaciones con fracciones

La conjetura de Golbach

Os voy a hablar de uno de los problemas no resueltos más importantes de la actualidad y con el que se llevan peleando (siendo "derrotados") grandes matemáticos de los últimos ¡280 años! Parte de su atractivo reside en que todos podemos entenderlo.

A mediados del siglo XVIII Golbach conjeturó:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

No está demostrado. No se sabe si es cierto o falso (por eso se llama conjetura). Vamos a probar:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

...

1000000=17+999983 (sí, 999983 es primo; me lo guardo para el próximo examen ;)

...

...

Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la conjetura es cierta por lo menos hasta 10¹⁸ (un uno seguido de 18 ceros, 1000000000000000000).

Lo que más me interesa que pilléis, la moraleja, es que si consiguiésemos encontrar un número par de forma que no se pudiese poner como suma de dos primos, automáticamente demostraríamos que la conjetura de Golbach no es cierta, pero que sea verdad para “muchos números pares” (para todos con los que hemos probado) no sirve como una demostración de que sí sea cierta, ¡porque los números pares son infinitos! No nos vale con probar y probar con más y más números porque nunca terminaremos de probarlo con todos, tenemos que encontrar alguna otra manera de demostrarlo. Y hasta ahora nadie lo ha conseguido (los matemáticos están "casi" seguros de que es cierta).

Reto: rellenadme uno de los huecos que he dejado arriba: demostrad que los números 18, 20, 22, 24, 26 y 28 se pueden poner como suma de dos números primos (quiero todas las posibilidades cuando haya más de una). Entre los que lo hagáis sortearemos una calculadora. El plazo termina el lunes 2 de noviembre a las 23:59.

Bueno, y si alguno se viene arriba y encuentra una demostración, que me lo diga y llamamos a la televisión. Además se va a llevar una pasta con la Medalla Fields o el Abel, los premios "Nobel" de las mates de los que os hablaré otro día.

1º de ESO: examen de divisibilidad

Un rato de trabajo intensivo en casa esta misma tarde (o el fin de semana) haciendo el examen y consultando la solución, es una magnífica herramienta de estudio. 

Ahí los tenéis:

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución

1º de ESO. Material del Tema 2: números enteros

Dejadme que os cuente dos historietas personales (como hacemos los viejos):

1) Recuerdo perfectamente cuando me explicaron en el colegio los números enteros (me parecieron muy fáciles) y lo que nos dijo el profesor (Don Félix, una maravilla -sí, entonces ni profe ni leches: ¿cómo os suena Don David?): "al ser humano nos costó muchos siglos entender estos números". Es curioso pero hasta el siglo XV los matemáticos no empezaron a trabajar con ellos más o menos como lo hacemos ahora y todavía entonces se les llamaba "números absurdos".

2) ¿Os he dicho que me parecieron muy fáciles, verdad? La primera vez que di clase en un instituto tenía de compañero a un novato como yo (al que también le habían parecido fáciles los números enteros en el cole) y recuerdo que antes de empezar el tema (los dos dábamos 1º de ESO) hablamos en el departamento de lo que íbamos a hacer: "esto es una chorrada, lo contamos en una hora y a otra cosa". "Vale". Pasaba por allí otro compañero con más experiencia: "¿estáis locos? A esto hay que dedicarle mucho tiempo, para ellos es un lío, se van a equivocar en esto, en aquello, en esto otro y en esto otro aquello". Lo clavó. Efectivamente, es muy fácil, pero os va a parecer muy lioso.

Poco a poco, ¡vamos a por ello! Seguiremos este índice:

1) Definición.

2) Representación en la recta.

3) Valor absoluto.

4) Operaciones.

5) Problemas.

Y haremos esta:

Hoja de ejercicios de números enteros

1º de ESO: preparando el examen de divisibilidad

Quiero que este fin de semana:

1) Le metáis un buen repaso a lo que hemos visto en clase de divisibilidad (vuestros magníficos apuntes son la mejor herramienta).

2) En una hora de reloj hagáis el siguiente modelo de examen (parecido al que os pondré):

Modelo de examen de divisibilidad

3) Consultéis la solución y os pongáis nota (¡corregid a lo bestia, a bien o mal!).

Solución del examen

4) A continuación me contéis cómo ha ido la cosa rellenando el siguiente formulario (tenéis que entrar con vuestro usuario y contraseña de Teams).

Formulario

5) Todas las dudas que os queden intentaremos resolverlas en la próxima clase. Pero para que tengamos éxito es muy importante vuestro esfuerzo individual previo.

Aquí tenéis varios exámenes que puse en cursos anteriores y que también os pueden servir (ya veis que son todos muy parecidos):

Ejemplo_1	Solución
Ejemplo_2	Solución
Ejemplo_3	Solución

Cuatro momentos de shock para la Humanidad

Hay varios momentos en la Historia de la Humanidad en los que la ciencia ha llegado a descubrimientos que han roto las creencias tenidas hasta ese momento por inmutables. Os voy a hablar de cuatro de ellos:

1) Los números irracionales: os lo he contado en la anterior entrada. Los griegos del siglo V antes de Cristo pensaban que todos los números eran fracciones (que podían expresarse como "trocitos" del 1). Aquí os intento explicar el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de 2 (no es complicado pero sí muy lioso para vosotros que todavía no estáis acostumbrados a razonamientos abstractos; os invito que cojáis lápiz y papel, os concentréis e intentéis entenderlo y reproducirlo).

2) Las matemáticas no son infalibles: uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Kurt Gödel (todo un personaje; os recomiendo que leáis su biografía en la Wikipedia) demostró que hay resultados en matemáticas que no son ni ciertos ni falsos (ojo, no estoy diciendo que no se sepa si son ciertos o falsos -de esos hay muchos-, digo que no son ni lo uno ni lo otro). Esto fue una cura de humildad para la reina de las ciencias, que siempre había "presumido" de ser un edificio de una completa lógica (y lo lógico es que algo sea cierto o falso).

3) La dilatación del tiempo: Einstein descubrió en sus dos teorías de la Relatividad que el tiempo transcurre a distinta "velocidad" para personas si estos se mueven entre sí o si están situados (o no) cerca de objetos con mucha masa. La película Interstellar juega con esa idea: un padre hace un viaje espacial en el que pasa un ratito en un planeta cercano a un agujero negro con mucha masa.

Cuando "poco tiempo después" (para él), vuelve del viaje, se produce el emotivo reencuentro:

Pero no hace falta ir a las cercanías de un agujero negro: nuestros dispositivos GPS funcionan porque tienen en cuenta este hecho.

4) Los electrones son unos cachondos: uno de mis vídeos favoritos.

¿Qué cara se os ha quedado?