1º de ESO. Material del tema 11: medidas

Es obvio que tanto para la vida diaria como para la ciencia, la técnica, la ingeniería, el arte, la poesía... ¡para todo!, el ser humano necesita MEDIR. Cómo lo hicimos y lo hacemos es una historia apasionante que todavía no ha acabado. Os voy a dar una pincelada.

Durante siglos surgieron localmente muchas medidas y con el tiempo quedaron claras dos necesidades:

1) Adoptar un patrón universal.

2) Definir exactamente ese patrón de forma que no cambiase nunca.

Vamos a tomar como ejemplo dos magnitudes: la masa (que ya deberíais saber que no es lo mismo que el peso, aunque en el día a día del planeta Tierra confundimos ambos conceptos) y la longitud.

Fue la Ilustración francesa la que dio un gran paso para cumplir el primer objetivo. Os enlazo un artículo en el que lo cuentan:

Creación del Sistema métrico decimal

¿Y el segundo objetivo? Mirad las dos siguientes fotos que corresponden a objetos que se encuentran en el Museo de Pesas y Medidas de París:

Y la verdad es que para medidas del día a día o para comprar naranjas eran buenas definiciones, pero los físicos (que pesan y miden partículas) necesitan mucha más precisión. Además, el cilindro de un kilo no está metido en dos campanas al vacío para que no lo roben sino ¡para evitar que con el tiempo y la corrosión ambiental cambie de masa! ¡Eso es un desastre, una unidad que no siempre va a valer lo mismo!

Por eso recientemente (los últimos cambios fueron en 2019) se intenta definir las unidades a partir de fenómenos inmutables de la naturaleza. 

Aquí nos lo cuentan

Y así, en la actualidad (y seguramente no de forma definitiva porque seguiremos buscando definiciones cada vez más precisas):

Metro (desde 1983): Longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299792,458 de segundo.

Kilogramo (desde 2019): A partir de la constante de Planck que relaciona la energía de un fotón con su frecuencia.

Hecha esta introducción, nosotros nos vamos a dedicar a trabajar con algunas unidades de medida típicas y, sobre todo, a manejar los múltiplos y submúltiplos:

El año que viene os meterán caña con estas cosas en Física y los próximos días trabajaremos la siguiente:

Hoja de problemas

Más allá de las 3 dimensiones

En 1º hemos trabajado las 2 dimensiones y en 2º la tercera, que es hasta donde llega, salvo que algún físico demuestre lo contrario (y lo están intentando) nuestra realidad, pero si algo tienen las matemáticas es que la realidad se le queda pequeña. Os enlazo un vídeo para volvernos un poco locos:

Arquímedes

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, en la cima, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Enlace a un artículo sobre Arquímedes

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden lo mismo que el radio). La idea es ésta:

Las cuentas las tenéis en el primer ejercicio del siguiente examen (y la conclusión en el segundo):

Cuentas con el hexágono

Luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más; cuantos más lados, más se acercan los polígonos a la circunferencia y mejor es la aproximación). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil (nivel 2º de ESO), una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados.

Reto IV para 1º de ESO. Aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Va el dibujo y las pistas:

Reto IV para 2º de ESO. Aproxima p calculando las áreas de los octógonos inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Van las pistas:

1) Haz el reto de 1º de ESO y apunta cuánto valen la apotema y el lado del cuadrado inscrito (a y l). Con esos datos el lado L y la apotema A del octógono inscrito salen con un par de Pitágoras.

2) El octógono circunscrito se forma con rectas tangentes a la circunferencia (líneas discontinuas en el dibujo). Y en este caso se forman dos triángulos rectángulos isósceles que nos permiten obtener el lado L del octógono circunscrito. Como la apotema es 1, ya tenemos el área.

Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de  p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:

Pasados estos 1500 años los matemáticos encontraron mejores formas de aproximar p... CONTINUARÁ.

Mapamundi

Si nos piden que pensemos en un mapa de nuestro planeta, a la mayoría nos viene algo así a la cabeza:

Mapamundi de Mercator

Y si a la vista del mismo nos preguntaran, por ejemplo, ¿qué es más grande, Groenlandia o África?, tendríamos que pensarnos la respuesta... aunque en realidad no hay mucho que pensar:

- Superficie de Groenlandia = 2'2 millones de km.

- Superficie de África = 30'4 millones de km.

Sí, África es unas 14 veces mayor que Groenlandia. ¡¿Qué está pasando aquí?!

Naturalmente todo tiene una explicación (¡matemática!) y es la siguiente:

No es posible representar, de forma semejante, la superficie de una esfera (y la Tierra lo es) en un plano. Es decir, podemos hacer "una especie de boceto", pero siempre habrá alguna distorsión.

El mapamundi más habitual (el de arriba) se basa en la proyección cartográfica de Mercator, que tiene la pega de que aumenta el tamaño de las regiones según se alejan del ecuador (y se acercan a los polos). Para que veáis más claro el "efecto mercator":

Hay otras opciones aunque todas tienen sus pegas. Por ejemplo, los dos siguientes mapamundis respetan mejor los tamaños de las regiones terrestres (¿cómo veis ahora lo de África y Groenlandia?), pero el primero es un lío para las distancias por mar y en el segundo es muy difícil orientarse:

Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:

Todos los mapas que conoces están mal

El mapa que mejor respeta las proporciones también está mal

Construyendo mi ataúd

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. Ya os aseguro que quepo. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas (los de 2º ya las sabéis; los de 1º sabéis las dos primeras y podéis entender la tercera):


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue (matemáticamente existe y en el mundo real no lo sabemos -nadie ha demostrado que haya más de 3 dimensiones espaciales pero algunas teorías físicas sí plantean esta posibilidad-), y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

¡Feliz San Valentín!

 

¡Vamos chicas!

Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia

Voy a soltaros un rollo. Fijaos en la foto:

No, no son Homo neanderthalensis, son Homo sapiens sapiens, somos nosotros, hace unos añitos, viviendo en cavernas, pero exactamente nosotros. Y un poco antes la cosa todavía tenía peor pinta (más o menos la que tienen ahora mismo los de 1º A):

Si me preguntáis cuál es mi principal objetivo como profesor vuestro respondería que es el de ayudaros a llegar a ser la mejor versión de vosotros mismos que podáis llegar a ser. Y creo firmemente que una parte fundamental de ese objetivo es que os deis cuenta de que no somos más que unos estúpidos monos que hemos bajado hace cuatro días de los árboles... e inmediatamente os sintáis orgullosos de formar parte de esa pandilla de (lo voy a repetir) estúpidos monos que hemos bajado hace cuatro días de los árboles... pero hemos sido capaces de:

- inventar idiomas para comunicarnos y crear belleza con la literatura,

- inventar la música, el cine, la pintura, la escultura, la arquitectura... (vale, y los videojuegos),

- descubrir (poco a poco, en una tarea que no terminará nunca) cómo se creó y funciona el Universo en el que vivimos,

- darnos cuenta de que todas las moléculas que ahora mismo forman nuestros cuerpos, nuestras mesas, bolígrafos, pizarras, tizas... nuestros gatos y perros... fueron alguna vez polvo de una estrella (no es una metáfora: es en las estrellas en las que, a partir del elemento más simple, el hidrógeno, se van formando los elementos más pesados; todo el mundo que nos rodea, nosotros mismos, nuestra propia carne, fueron alguna vez polvo emergido del interior de una estrella), y ser capaces de investigar cómo de ese polvo ha podido surgir ese misterioso y maravilloso fenómeno que es la vida,

- y, por supuesto, descubrir/inventar/crear la fuente de mayor belleza de la Humanidad: ¡las matemáticas! Y si no os parecen hermosas, por lo menos que os quede claro que son indispensables para todos los puntos anteriores... ¡especialmente para los videojuegos!

Desgraciadamente ese camino de descubrimiento y belleza ha sido, y sigue siendo, mucho más difícil de transitar para una mitad de los seres humanos. Eduardo nos cuenta algunas cosas:

Así que hoy, Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, quiero deciros a mis "científicas" favoritas que, con permiso de Maryam Mirzakhani, sois mis alumnas:

¡Muchas felicidades!

2º de ESO: resolución de ecuaciones polinómicas (¿fórmulas?)

NO EXISTEN FÓRMULAS EN MATEMÁTICAS. SON IDEAS.

Estamos ante una de las historias más peliculeras y fascinantes de la Historia de las Matemáticas. Empezamos por el principio:

- las ecuaciones de primer grado las sabremos resolver desde la época de las cavernas. Podemos imaginarnos a Federicolopithecus pensando en su cueva de Altamira: cada vez que en la tribu salimos a cazar nos cobramos dos bisontes, le tenemos que dar dos a la tribu que nos fabrica las lanzas y necesitamos cuatro para pasar el año, ¿cuántas veces tenemos que salir de caza?

- las ecuaciones de segundo grado que estamos viendo en clase las fueron dominando los matemáticos en distintos lugares (Babilonia, China, la India, Egipto, Grecia...) desde hace miles de años (la mayoría las resolvía con argumentos geométricos) y el primero en dar con "nuestra" fórmula fue el indio Bramahgupta en el s. VII. Os propongo como reto que intentéis entender la idea. Tenéis tres intentos: la demostración algebraica a palo seco (es dura para vosotros pero podéis con ella), una demostración gráfica sacada de la Wikipedia (pasando de la a) y el vídeo en el que resuelvo los dos ejercicios que os he propuesto en clase sin utilizar directamente la fórmula (deduciéndola; será el extra en el próximo examen y en el global):

Demostración algebraica

Imagen original de la Wikipedia

-hubo que esperar mucho tiempo, al Renacimiento, para que pudiésemos con las ecuaciones de tercer grado. Sí, también hay fórmula (y da mucha pereza usarla):

La fórmula de cuarto grado es todavía más "fea". Aquí nos cuenta Eduardo cómo fueron estos descubrimientos. ¡Peleas de gallos! Menuda panda.

Y claro, el siguiente paso era...

Resolución de ecuaciones de quinto (y superior) grado

Tras trescientos años intentándolo:

- Abel demostró que no existe una fórmula general para todas las ecuaciones de quinto grado o superior.

- Galois, en una de las mayores exhibiciones intelectuales de la Historia de la Humanidad, demostró que se podían encontrar fórmulas particulares para algunas de esas ecuaciones pero no para otras y dio el método para saber cuándo había fórmula y cómo encontrarla. Esto es una asignatura entera en cursos altos de la carrera de Matemáticas en la Universidad.

Os lo va a contar Eduardo con más gracia:

¿Lo habéis entendido? Me encanta esta frase (aunque sea falso que Einstein la dijera; si lo intentáis, ¡que sea online, que no está la cosa para tonterías!):

Mi primer día como profesor

Una explicación previa.

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una canica de un centímetro de radio.

El matemático, el crack, el Dios absoluto, no es que sepa calcularlo, es que es capaz de hacer una demostración que lleva a la fórmula para calcular el volumen de cualquier esfera de radio R (se cuenta en bachillerato; ¿a que los símbolos son bonitos?):

 

El físico propondría hacerlo con un experimento. Echamos agua en una probeta en la que posteriormente sumergimos la canica: entonces el volumen de la canica es exactamente lo que ha subido el nivel del agua de la probeta:

¿Qué haría el ingeniero? "Aprovecharse" del (genial) trabajo del matemático, aproximar Pi por 3 (¿para qué nos vamos a complicar la vida con decimales?) y limitarse a hacer la cuenta (con una calculadora que para eso están). Y diría que el volumen de la canica es:

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La primera vez en mi vida que me disponía a dar una clase (los alumnos eran futuros ingenieros) se me ocurrió empezar "haciéndome el gracioso", contando un chiste que a mí me había hecho reírme a carcajadas. Aunque en el chiste el matemático y el físico también son ridiculizados, la vacilada más fuerte es para el ingeniero. ¿Cuál es la idea? Es habitual burlarse de los ingenieros porque aplican las matemáticas haciendo aproximaciones a lo bestia, o sin preocuparse por comprobar que se cumplen las condiciones que permiten aplicar una determinada fórmula (naturalmente es una exageración... aunque hay algo de verdad).

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Entré en clase todo serio (ellos también lo estaban porque para la mayoría era su primer instante en la universidad) y sin dar siquiera los buenos días dibujé en la pizarra algo parecido a esto:

Creo que me ha salido bastante mejor que entonces

Me di la vuelta y conté el chiste (añado ahora algún comentario explicativo entre paréntesis):

Están un matemático, un físico y un ingeniero a los que se les pide que calculen el volumen de una vaca.

El matemático dice: bah, trivial, basta con hacer una integral. (Lo que teóricamente es cierto, y es fácil de hacer, como hemos hecho arriba, para una esfera, pero es inútil en el mundo real para calcular el volumen de una vaca).

El físico dice: bah, fácil, metemos la vaca en una probeta con agua y lo que sube el nivel es el volumen de la vaca. (Más que probeta tendría que ser en una piscina. Ayyy, los físicos y sus experimentos, menuda cornada les iba a dar la vaca si intentaran meterla en una piscina).

Y va el ingeniero y dice: está tirado. Suponemos que la vaca es esférica y aplicamos la fórmula: el volumen es cuatro tercios de Pi por el radio al cubo.

¿Vaca esférica? ¿Radio de una vaca?

De hecho, este chiste se conoce como "el de la vaca esférica".

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Los alumnos me miraron todos muy serios... y ese fue el final de mi carrera como profesor-humorista. Creo que he tenido algunas pesadillas relacionadas con dicho momento. ¡Nunca más!

Kurt Gödel

A finales del siglo XIX los físicos y los matemáticos estaban muy, muy crecidos.

Los primeros se sentían a punto de, con un par de detallitos, culminar su obra de explicar matemáticamente el funcionamiento del Universo. Poco después la Teoría de la Relatividad y la Física Cuántica pusieron su mundo patas arriba (y en esas estamos).

Los matemáticos se reían. “Pobres físicos, esclavos del caprichoso mundo real. En cambio nosotros sólo dependemos de la lógica y ésta es perfecta”. Y hasta se pusieron chulitos: el gran David Hilbert dijo su famosa frase “la Física es demasiado importante para que se la dejemos a los físicos”, tenemos que encargarnos de ella nosotros, los matemáticos.

Pero entonces Kurt Gödel demostró, horror, su Teorema de Incompletitud: “cualquier sistema que incluya los números naturales (0, 1, 2, 3…) es incompleto, lo que quiere decir que existen resultados para los cuales no se puede demostrar ni que sean ciertos, ni que sean falsos”. ¿Perdón? Tal cual, una puñetera “locura” que llevó a las matemáticas a una crisis existencial que todavía no se ha cerrado a día de hoy.

El 14 de enero de 1978 Gödel murió de inanición. En sus últimos años tenía temores obsesivos a ser envenenado y no comía a menos que su esposa Adele preparara su comida. A finales de 1977 Adele fue hospitalizada durante seis meses y no pudo continuar preparándole la comida. En su ausencia, Gödel rehusó comer, hasta el punto de dejarse morir de hambre. En el momento de su muerte pesaba 30 kg.

¡Feliz Navidad!

¡FELIZ NAVIDAD Y PRÓSPERO 2021!

Y os será más próspero cuantas más matemáticas

repaséis en estas fiestas.

Haciendo un poco de trampa con el calendario, mañana celebramos el nacimiento del hombre-Dios de la Ciencia: el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano (que era el que utilizaban en Inglaterra en aquella época) nació:

Isaac Newton

¿Qué es eso del calendario Juliano? (¿De verdad creíais que os iba a felicitar la Navidad sin aprovechar para colaros una historia?).

Los seres humanos se fijaron en tres fenómenos cíclicos (que se repiten) a la hora de intentar medir el tiempo: la salida y puesta del Sol (día), las fases de la luna, cuyo ciclo dura unos 29 días y medio (que parece una buena definición de mes), y la posición de la Tierra respecto al Sol (unos 365 días, cuyo ciclo es un inmejorable candidato para ser un año). Pero había un problema: los meses lunares y el año solar no cuadran bien. O nos quedamos cortos o nos pasamos:

• 29'5 x 12 meses = 354 días

• 29'5 x 13 meses = 383'5 días

Hubo muchos intentos de ajuste ya que era un asunto muy importante: ¿os imagináis que cada año los meses se fuesen moviendo y que, si en 2021 enero fuera invierno, dentro de unos años cayese en pleno verano? Sería un lío (e imaginaros para los agricultores).

¿Por qué la Semana Santa es un lío?

La solución fue olvidarse de la luna (por eso los meses no tienen todos el mismo número de días) e intentar ajustarse al Sol. Por entonces se sabía que a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'25 días. La solución parecía fácil: fue el emperador Julio César el que implantó el año de 365 días con uno de 366 cada cuatro. Es lo que se conoce como Calendario Juliano.

Pero lo de 365'25 era sólo una aproximación: en realidad a la Tierra le cuesta dar una vuelta al Sol unos 365'242189 días y claro, el error se fue acumulando, de forma que alguien se puso a hacer cálculos y se dieron cuenta de que cada 1000 años se producía un desfase de casi 8 días. Efectivamente:

• Cada año se acumulaba un desfase de 365'25 - 365'242189 = 0'007811 días.

• 0'007811 días x 1000 años = 7'811 días en total.

Para corregir ese error y para evitar que se produjera en el futuro, el papa Gregorio XIII instauró el Calendario Gregoriano que usamos en la actualidad: la regla es que son bisiestos los años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los múltiplos de 100 (1700, 1800, 1900..., que no serán bisiestos), de los que se exceptúan a su vez aquellos que también sean divisibles por 400 (1600, 2000, 2400..., que sí serán bisiestos).

¿Problema resuelto? No, porque sigue habiendo un desajuste y, para corregirlo, cada 3000 años aproximadamente hay que hacer "normal", de 365 días, a un año al que le toque ser bisiesto.

(P.D.) Con nuestro calendario Gregoriano, Newton nació el 4 de enero de 1643.

Orgullo

Quiero presumir de una maravillosa alumna a la que los de 2º pronto vais a conocer: LeiLoliLu.

Un fantástico vídeo que transmite la dureza del confinamiento (el minuto 3:49 es un momento terrible: atentos a lo que aparece en la pantalla del ordenador. ¡La madre que la...! 😂).

El olimpo de los números

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:

¡Preciosa para un tatuaje!

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 + 0.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 x 1.

p De éste os voy a hablar mucho en el futuro. Os cuento dónde apareció por primera vez:

Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

Hasta aparece en la Biblia:

Diámetro = 10; Longitud = 30 (y pico)

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios (pronto os contaré algo de pasada en 2º). No sé si vais a pillar la idea pero Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:

i Os lo he presentado esta semana. Aquí os lo explica mejor nuestro divulgador favorito:

Los números imaginarios

Como os voy a contar estos días en clase, no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo -significa "no existe"-):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad si pensamos en todas las posibilidades:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (sí, el de 1+2+3+...+998+999+1000) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia por aquel entonces, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos