Y cero elevado a cero es...

Ya os he contado alguna vez que el cero es un número que al ser humano le costó asimilar. De hecho los griegos hacían el siguiente razonamiento, "cómo va a existir un símbolo para algo que representa la nada" (aunque a mí se me ocurre que la nada se puede representar escribiendo 1º C 😉). Fueron los matemáticos indios (a Europa llegó vía los musulmanes) los que empezaron a utilizar el cero como número y eligieron el símbolo 0. Y desde entonces ha seguido siendo un número muy "gamberro" en las matemáticas, como vais a comprobar en vuestros próximos años en el instituto y como se pone de manifiesto en el reto que os propuse.

Ese reto no era fácil para vosotros y la respuesta tampoco lo es, no tanto por su nivel (en sí es una pijadilla) como por el razonamiento lógico y un tanto abstracto que hay detrás. Vamos a ver si consigo explicarme.

No os estaba preguntando que me dijeseis cuánto vale cero elevado a cero, sino que razonaseis por qué la demostración que habíamos visto para 13 es válida para cualquier otro número salvo para 0. La clave a eso está en el Paso 2. 

A por ello. Supongamos que queremos demostrar el siguiente teorema:

y tenemos a nuestra disposición dos resultados previos:

Vamos a ver hasta dónde llegamos:

Sí, no podemos seguir porque si os fijáis, 0²  es 0, y entonces estamos dividiendo por 0, y eso es algo que en matemáticas no puede hacerse.

Y si me interesa que hayáis entendido esto, más me interesa lo que viene ahora: 

Lo que acabamos de ver es que la demostración que habíamos hecho con 13 no sirve si la intentamos hacer con 0. Pero eso no significa que 0⁰ no valga uno, significa que no sabemos lo que vale y que, valga 1 u otra cosa, lo que tenemos que hacer es probarlo con otra demostración.

¿Y si me preguntáis cuánto vale  0⁰ ? La respuesta es que vale... 1. Pero faltan varios años para que podáis entender este razonamiento y para este otro tendréis que estudiar mates en la Universidad. Como ya os he dicho, en ese largo (¡y apasionante!) camino iréis comprobando que el 0 es un número muy gamberro y que da muchos problemas.

1º de ESO. Material del Tema 4: números racionales

En este tema hay dos partes muy diferenciadas:

I) Veremos que las fracciones son una forma de escribir números, por ejemplo, 

0'6 = 6/10 = 3/5

Esto lo desarrollaremos en los tres primeros apartados del tema:

1) Introducción y tareas básicas.

2) Operaciones con fracciones.

3) Operaciones combinadas.

Usaremos este material:

Las fracciones son números

Operaciones combinadas con fracciones

II) Resolveremos problemas que usan las fracciones para comparar una parte y un total. Por ejemplo, podemos decir que en un grupo 3 de cada 5 (es decir, 3/5) son chicas (y 2/5 serían chicos).

4) Problemas básicos con fracciones.

5) El problema de la suma y el producto.

Aquí tenéis una colección de problemas y las soluciones:

Problemas con fracciones

Soluciones

2º de ESO. Material del Tema 4: proporcionalidad y aplicaciones

En este tema vamos a repasar una idea vista en 1º y la vamos a desarrollar un poquito más. Es MUY IMPORTANTE que os esforcéis por entender las cosas y no os centréis en aprender recetas para resolver los problemas.

Seguiremos el siguiente índice:

1) Proporcionalidad simple.

2) Proporcionalidad compuesta.

3) Incrementos y disminuciones.

4) Matemática financiera.

5) Repartos.

Y nuestro objetivo es desenvolvernos con problemas como los de la siguiente:

Hoja de problemas

Soluciones

2º de ESO: examen de potencias y raíces

Nota importante: va por todos pero sobre todo por los que estáis haciendo "tontos" cálculos de si vais a aprobar la evaluación o no. Bajo ningún concepto dejéis de trabajar a diario pensando: "me dedico a las otras asignaturas y ya prepararé la recuperación". La recuperación (recuperaciones, que hay varias hasta junio) se preparan en el día a día. La estáis preparando (o no) ahora mismo.

Este tema ha tenido muy pocas ideas y muchas operaciones. La única manera de pillar nivel es practicar.

Aquí tenéis el control de operaciones que usamos para entrenar:

Control de operaciones

Solución

Y aquí los exámenes:

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

1º de ESO: encuesta

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os cuento las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente cualquier longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a probar con algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En este caso, si es que sí, ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'3333333333... o 0'6666666666666...? Fácilmente (usad la calculadora y dividid 1 entre 3):

Aquí llega la encuesta:

Haz clic para votar en la encuesta

El olimpo de los números

Desde un punto de vista matemático, ¿cuáles son los números más importantes, los dioses del Olimpo? Aquí tenéis juntos a "los cinco magníficos" en la famosa identidad de Euler:

¡Preciosa para un tatuaje!

Adoremos a las divinidades:

0 El cero es el elemento neutro de la suma, es decir, si a cualquier número le sumo un 0, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 + 0.

1 El uno es el elemento neutro de la multiplicación, es decir, si un número lo multiplico por 1, el número no cambia. Por ejemplo: 13 = 13 x 1.

p De éste os voy a hablar mucho en el futuro. Os cuento dónde apareció por primera vez:

Si tenemos una circunferencia (pensemos que es una rueda) de 1 metro de diámetro y la hacemos rodar una vuelta entera, recorremos una distancia de p metros, es decir, 3'14159... metros, 3 veces y un poco el diámetro de la circunferencia.

Hasta aparece en la Biblia:

Diámetro = 10; Longitud = 30 (y pico)

e Coged una calculadora e id haciendo estas cuentas:

Si "no paráis nunca" llegaréis al valor exacto de:

e = 2,718281828459045235360287...

Estas cuentecillas aparecieron por primera vez en un problema de economía en el siglo XVII y desde entonces en muchos otros sitios (pronto os contaré algo de pasada en 2º). No sé si vais a pillar la idea pero Eduardo siempre cuenta las cosas con gracia:

i Os lo he presentado esta semana. Aquí os lo explica mejor nuestro divulgador favorito:

1º de ESO: preparando el examen de potencias y raíces cuadradas

 Aquí os cuelgo un modelo de examen. Lo resolveremos en clase la semana que viene (todavía os tengo que explicar el apartado de los problemas):

Modelo de examen

Nota: en el ejercicio 5 dice "exprésalos en notación científica". Debería decir: "exprésalos con potencia de 10".

Podéis pegarle un vistazo a exámenes de otros años, aunque no incluyen ejercicios con números negativos (porque eso lo daba después):

Potencias y raíces	Solución

Potencias y raíces	Solución

Y por si tenéis curiosidad, aquí va el examen "de la masacre" 💣:

Potencias y raíces	Solución

2º de ESO: preparando el examen de potencias y raíces

 El plan es el siguiente:

- el primer día de la próxima semana haremos un controlillo de operaciones similar a éste:

Ejemplo de controlillo

Solución

- el segundo día haremos el examen que tendrá un formato parecido al siguiente:

Ejemplo de examen

Vuestra primera demostración "profesional"

La parte más bonita de las matemáticas son las demostraciones, que te propongan un enunciado y tú tengas que demostrar, con lógica, que es cierto. Pero no es una tarea en absoluto fácil para vosotros porque requiere una madurez en el pensamiento abstracto que cuesta tiempo y esfuerzo adquirir. Voy a hacer un intento a ver si alguno le pilláis la gracia.

Pero antes me dejáis haceros una pequeña crítica con la siguiente tabla:

Una demostración matemática suele contener los siguientes elementos:

- Lemas: donde se recuerdan algunos resultados conocidos que se van a utilizar en la demostración.

- Teorema: que es el resultado importante que se va a demostrar, el problema que se va a resolver. Primero se escribe el enunciado y a continuación la demostración.

Vamos a ver un ejemplito: demostremos en "plan profesional" que 13 elevado a cero da uno.

Primero los lemas:

Vamos con el enunciado del problema que queremos resolver:

Y ahora, lo más interesante: la demostración, ¡que empiece la fiesta!

Porque no hay demostración que se precie que no termine con un C.q.d. (que son las iniciales de Como queríamos demostrar) y con #.

Reto. (Es muy duro para vosotros; sinceramente -tomadlo como un desafío y dadme en los morros-, no creo que nadie me lo saque). En realidad el 13 no pinta nada. Lo he cogido porque es mi número preferido pero el resultado anterior vale para cualquier otro número, es decir, el teorema sería: cualquier número elevado a cero da uno. Bueno, eso no es del todo correcto, ahí va el reto: ¿por qué no sirve la demostración anterior si en vez de un 13 tenemos un 0? Tenéis hasta el 30 de noviembre a las 23:59 para responder. Otra calculadora en juego.

Pista: si en la anterior demostración usamos el 0 en vez del 13 hay un paso en el que cometeríamos una "ilegalidad" (¿la sabéis encontrar?).

Los números imaginarios

Como os voy a contar estos días en clase, no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo -significa "no existe"-):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad si pensamos en todas las posibilidades:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (sí, el de 1+2+3+...+998+999+1000) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia por aquel entonces, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

Carl Friedrich Gauss

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser conocido como el Príncipe de las matemáticas. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto. Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 136 números naturales. Tenéis de plazo hasta el próximo lunes a las 23:59. Todos los que respondáis correctamente (explicándolo) entraréis en el sorteo de una calculadora.

Nota. Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

1º de ESO: examen de números enteros

Os aseguro a los de 1º C que, matemáticamente hablando, un rato de trabajo intensivo dedicado al examen y consultando la solución es la mejor cosa que podéis hacer este fin de semana. A los de 1º A sólo os tengo que decir una cosa: queridos míos, el martes nos vemos.

Ahí los tenéis:

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución

1º de ESO. Material del Tema 3: potencias y raíces cuadradas

Aquí está el que para mí siempre será "el tema del examen masacre" (recién llegados del cole, segundo examen del curso y va y pasa esto 😂). ¡Tranquilos que desde entonces me ha salido muchísimo mejor y ya debería decir que es "el tema del examen exitoso"!

¿Qué tenemos que hacer para que ocurra esto último? Trabajar duro y a diario. Os cuento el índice que vamos a seguir:

1) Definición. Propiedades básicas de las potencias.

2) Potencias de 10.

3) Raíces cuadradas.

4) Potencias de números negativos.

5) Operaciones combinadas.

6) Problemas.

7) Una cosita extra.

Nuestro objetivo es saber resolver tareas como las de la siguiente hoja:

Hoja de potencias y raíces cuadradas

Por cierto, ¿queréis saber qué paso al día siguiente de que les diese las notas del examen masacre? Pasó esto (pobrecitos míos, ¡qué acojonados tenían que estar!):

2º de ESO. Material del Tema 3: potencias y raíces

Llega un tema en el que no hay mucho que entender pero sí mucho trabajo que hacer para adquirir habilidad. La idea es sencilla: las potencias son una forma cómoda de escribir productos, la notación científica sirve para expresar números muy grandes o muy pequeños y las raíces son la operación inversa de las potencias.

Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición de potencia. Propiedades básicas.

2) Signo de una potencia.

3) Exponentes negativos.

4) Notación científica.

5) Raíces.

6) Operaciones combinadas.

7) Problemas.

Y nuestro objetivo es desenvolvernos con problemas como los de la siguiente:

Hoja de ejercicios de potencias y raíces

2º de ESO: examen de números reales

Os aseguro que, matemáticamente hablando, un rato de trabajo intensivo dedicado al examen y consultando la solución es la mejor cosa que podéis hacer esta misma tarde. 

Ahí los tenéis:

Examen de 2º A	Solución
Examen de 2º C	Solución

El mundillo matemático (III): la gloria

La Medalla Fields

¿Con qué sueña un matemático (aparte de con daros clase a vosotros)? ¿Cómo se gana la inmortalidad? Esencialmente siendo el primero "en cazar una gran presa", en resolver alguno de los grandes problemas de las matemáticas.

¿Cuáles son esos problemas? En el Congreso de París del año 1900 David Hilbert, el matemático más destacado de la época, propuso su famosa lista con los 23 problemas que se consideraron los más importantes del siglo XX.

Lista de Hilbert

En el año 2000, la Unión Matemática Internacional, que aglutina las Academias de Matemáticas de aquellos países que tienen Academia de Matemáticas, hizo una "repetición de la jugada" creando la

Lista de Smale

y el  Clay Mathematics Institute (una organización fundada por un millonario aficionado a las matemáticas) ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguno de los

Siete problemas del milenio

¿De qué van esos problemas? Voy a intentar contaros algo de uno que aparece en las dos listas, el ¿P=NP?, y para eso necesito que antes resolváis los siguientes cuatro problemas a mano.

Importante: para cada uno de ellos tenéis como mucho 5 minutos.

Problema 1: divide 127 entre 7.

Problema 2: comprueba si 127 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.

(Continuará).