Los números imaginarios

Como os voy a contar estos días en clase, no existen las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, si intentásemos calcular cuánto vale

nos pondríamos a buscar un número que elevado al cuadrado dé -1. Pero no existe tal número porque cuando elevamos cualquier cantidad al cuadrado, siempre obtenemos un resultado positivo, no es posible que nos salga un número negativo. Por ejemplo:

En definitiva (lo voy a escribir, que sé que os va a molar el símbolo -significa "no existe"-):

Esto lo conocían los matemáticos desde la antigüedad, y así se tiraron unos cuantos siglos, hasta que hubo algunos que se plantearon, "¿por qué no nos inventamos más números?". Dicho y hecho, se inventaron un nuevo número al que llamaron i, que sería la raíz cuadrada de -1, es decir:

A este nuevo número le aparecieron de golpe muchos "familiares", todo un nuevo conjunto de números, que llamaron los números imaginarios. Aquí tenéis algunos:

Nota. En realidad si pensamos en todas las posibilidades:

Os cuento alguna cosilla:

- el nombre lo dice todo. Al principio los matemáticos trabajaron a regañadientes con estos nuevos números y los despreciaban porque decían que "en realidad no existían".

- fue Gauss (sí, el de 1+2+3+...+998+999+1000) el que dijo, "señores, estos son números como los demás y merecen todo nuestro respeto, ¡se acabó el racismo numérico!". Al ser Gauss una eminencia por aquel entonces, los demás le hicieron caso.

- como muchas veces ha pasado en nuestra ciencia favorita, al principio estos nuevos números fueron un gran avance en matemáticas (dieron lugar al Teorema Fundamental del Álgebra), pero no servían absolutamente para nada en el mundo real.

- esto no duró mucho: enseguida se descubrieron aplicaciones y se resolvieron importantes problemas de física e ingeniería gracias a los números imaginarios.

- los matemáticos no pararon aquí. Una vez que vieron que se podían inventar nuevos números, lo han venido haciendo cada vez que con los que tienen no les llega para resolver algún problema.

- en cuanto a vosotros, tenéis una cita con los números imaginarios en 1º de bachillerato de Ciencias. ¡No intentéis escapar!

A los números imaginarios también se les dice números complejos

Carl Friedrich Gauss

Cuenta la leyenda que un profesor de matemáticas se enfadó con un alumno que estaba dando mucha guerra en clase (seguro que la historia es inventada, ¿dónde se ha visto un alumno así?), y como castigo y para tenerlo entretenido un buen rato, le mandó que sumase los 1000 primeros números naturales, es decir:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 998 + 999 + 1000

¡Y ni se te ocurra utilizar la calculadora! –casi le gritó el enfadado profesor-. (Esto también tiene que ser inventado. ¿Acaso conocéis a algún profesor que diga eso?).

Y ahí se quedó el “pobre” alumno, en un rincón de la clase, haciendo cuentas... y a los pocos segundos le dijo al profesor, “Ya lo tengo, 500500”.

Carl Friedrich Gauss, que así se llamaba el niño, apuntaba las maneras que le llevarían a ser conocido como el Príncipe de las matemáticas. Y ese día, en su cuaderno, el profesor se encontró con esto:

 ¡¡¿¿Os queda claro de una vez por todas que en matemáticas es mucho más importante el razonamiento que el resultado??!!

Reto. Emulando a Gauss, calculad la suma de los primeros 136 números naturales. Tenéis de plazo hasta el próximo lunes a las 23:59. Todos los que respondáis correctamente (explicándolo) entraréis en el sorteo de una calculadora.

Nota. Parece ser que la historia anterior es inventada pero, ¿qué os parece esta otra? (Fuente: blog El Aleph de El País). Copio y pego:

La segunda historia de hoy tiene como protagonista al matemático George Dantzig. Se cuenta que cierto día Dantzig llegó tarde a clase, y al sentarse vio que su profesor, Jerzy Neyman, había escrito en la pizarra dos problemas relacionados con estadística. Dantzig pensó que se trataba de trabajo para casa, y como buen estudiante los copió para ponerse con ellos más tarde. Según palabras del propio Dantzig, estos problemas le parecieron "algo más complicados de lo habitual", pero la cuestión es que consiguió dar con la solución de ambos. Después de resolverlos, entregó su trabajo al profesor y ahí quedo la cosa.

Lo que no sabía Dantzig era que había encontrado demostraciones para dos teoremas de estadística que carecían de demostración hasta la fecha. Un año después, cuando Dantzig estaba pensando tema para su tesis, Neyman le dijo que metiera las dos demostraciones en una carpeta y se las aceptaría como tesis.

1º de ESO: examen de números enteros

Os aseguro a los de 1º C que, matemáticamente hablando, un rato de trabajo intensivo dedicado al examen y consultando la solución es la mejor cosa que podéis hacer este fin de semana. A los de 1º A sólo os tengo que decir una cosa: queridos míos, el martes nos vemos.

Ahí los tenéis:

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución

1º de ESO. Material del Tema 3: potencias y raíces cuadradas

Aquí está el que para mí siempre será "el tema del examen masacre" (recién llegados del cole, segundo examen del curso y va y pasa esto 😂). ¡Tranquilos que desde entonces me ha salido muchísimo mejor y ya debería decir que es "el tema del examen exitoso"!

¿Qué tenemos que hacer para que ocurra esto último? Trabajar duro y a diario. Os cuento el índice que vamos a seguir:

1) Definición. Propiedades básicas de las potencias.

2) Potencias de 10.

3) Raíces cuadradas.

4) Potencias de números negativos.

5) Operaciones combinadas.

6) Problemas.

7) Una cosita extra.

Nuestro objetivo es saber resolver tareas como las de la siguiente hoja:

Hoja de potencias y raíces cuadradas

Por cierto, ¿queréis saber qué paso al día siguiente de que les diese las notas del examen masacre? Pasó esto (pobrecitos míos, ¡qué acojonados tenían que estar!):

2º de ESO. Material del Tema 3: potencias y raíces

Llega un tema en el que no hay mucho que entender pero sí mucho trabajo que hacer para adquirir habilidad. La idea es sencilla: las potencias son una forma cómoda de escribir productos, la notación científica sirve para expresar números muy grandes o muy pequeños y las raíces son la operación inversa de las potencias.

Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición de potencia. Propiedades básicas.

2) Signo de una potencia.

3) Exponentes negativos.

4) Notación científica.

5) Raíces.

6) Operaciones combinadas.

7) Problemas.

Y nuestro objetivo es desenvolvernos con problemas como los de la siguiente:

Hoja de ejercicios de potencias y raíces

2º de ESO: examen de números reales

Os aseguro que, matemáticamente hablando, un rato de trabajo intensivo dedicado al examen y consultando la solución es la mejor cosa que podéis hacer esta misma tarde. 

Ahí los tenéis:

Examen de 2º A	Solución
Examen de 2º C	Solución

El mundillo matemático (III): la gloria

La Medalla Fields

¿Con qué sueña un matemático (aparte de con daros clase a vosotros)? ¿Cómo se gana la inmortalidad? Esencialmente siendo el primero "en cazar una gran presa", en resolver alguno de los grandes problemas de las matemáticas.

¿Cuáles son esos problemas? En el Congreso de París del año 1900 David Hilbert, el matemático más destacado de la época, propuso su famosa lista con los 23 problemas que se consideraron los más importantes del siglo XX.

Lista de Hilbert

En el año 2000, la Unión Matemática Internacional, que aglutina las Academias de Matemáticas de aquellos países que tienen Academia de Matemáticas, hizo una "repetición de la jugada" creando la

Lista de Smale

y el  Clay Mathematics Institute (una organización fundada por un millonario aficionado a las matemáticas) ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguno de los

Siete problemas del milenio

¿De qué van esos problemas? Voy a intentar contaros algo de uno que aparece en las dos listas, el ¿P=NP?, y para eso necesito que antes resolváis los siguientes cuatro problemas a mano.

Importante: para cada uno de ellos tenéis como mucho 5 minutos.

Problema 1: divide 127 entre 7.

Problema 2: comprueba si 127 es un número primo.

Problema 3: divide 2305843009213693951 entre 7.

Problema 4: comprueba si 2305843009213693951 es un número primo.

(Continuará).