Hasta siempre

 No puedo imaginar una mejor última entrada para este blog:

Hasta el final

1º A, ¿sabéis que os quiero, verdad? Va con todo mi cariño. (Mi abogado me ha prohibido hacer las versiones de 1º C y 2º C 😂).

2º de ESO. Material del tema 12: probabilidad

Para mi gusto y en mi recuerdo la probabilidad es la parte de las matemáticas más difícil que me contaron en el instituto. Además es una parte que puede ser difícil de transmitir y explicar como profesor. Vamos a intentar pillar algunas ideas básicas.

Apuntes

Ejercicios

Aprovecho para enseñaros un mecanismo interesante: la máquina de Galton.

Imaginad un dispositivo como el de la figura por el que vamos dejando caer una bolita que tiene que superar varias barreras de obstáculos: en cada una, la bolita tiene la misma probabilidad, 0'5, de ir a la izquierda o a la derecha.

Es decir, en el fondo esto es como lanzar una moneda 8 veces y contar las caras (o las cruces):

- 0 caras (8 cruces) equivalen a que la bola acabe a la izquierda del todo,

- 4 caras (4 cruces) es como si la bolita cayese en el centro,

- 8 caras equivalen a que la bola acabe a la derecha del todo.

Este tinglado proporciona una hermosa demostración visual de uno de los resultados más importantes de las matemáticas, el Teorema Central del Límite (os espera en Bachillerato). Os presento a la famosa campana de Gauss.

1º de ESO. Material del tema 11: medidas

Es obvio que tanto para la vida diaria como para la ciencia, la técnica, la ingeniería, el arte, la poesía... ¡para todo!, el ser humano necesita MEDIR. Cómo lo hicimos y lo hacemos es una historia apasionante que todavía no ha acabado. Os voy a dar una pincelada.

Durante siglos surgieron localmente muchas medidas y con el tiempo quedaron claras dos necesidades:

1) Adoptar un patrón universal.

2) Definir exactamente ese patrón de forma que no cambiase nunca.

Vamos a tomar como ejemplo dos magnitudes: la masa (que ya deberíais saber que no es lo mismo que el peso, aunque en el día a día del planeta Tierra confundimos ambos conceptos) y la longitud.

Fue la Ilustración francesa la que dio un gran paso para cumplir el primer objetivo. Os enlazo un artículo en el que lo cuentan:

Creación del Sistema métrico decimal

¿Y el segundo objetivo? Mirad las dos siguientes fotos que corresponden a objetos que se encuentran en el Museo de Pesas y Medidas de París:

Y la verdad es que para medidas del día a día o para comprar naranjas eran buenas definiciones, pero los físicos (que pesan y miden partículas) necesitan mucha más precisión. Además, el cilindro de un kilo no está metido en dos campanas al vacío para que no lo roben sino ¡para evitar que con el tiempo y la corrosión ambiental cambie de masa! ¡Eso es un desastre, una unidad que no siempre va a valer lo mismo!

Por eso recientemente (los últimos cambios fueron en 2019) se intenta definir las unidades a partir de fenómenos inmutables de la naturaleza. 

Aquí nos lo cuentan

Y así, en la actualidad (y seguramente no de forma definitiva porque seguiremos buscando definiciones cada vez más precisas):

Metro (desde 1983): Longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299792,458 de segundo.

Kilogramo (desde 2019): A partir de la constante de Planck que relaciona la energía de un fotón con su frecuencia.

Hecha esta introducción, nosotros nos vamos a dedicar a trabajar con algunas unidades de medida típicas y, sobre todo, a manejar los múltiplos y submúltiplos:

El año que viene os meterán caña con estas cosas en Física y los próximos días trabajaremos la siguiente:

Hoja de problemas

Más allá de las 3 dimensiones

En 1º hemos trabajado las 2 dimensiones y en 2º la tercera, que es hasta donde llega, salvo que algún físico demuestre lo contrario (y lo están intentando) nuestra realidad, pero si algo tienen las matemáticas es que la realidad se le queda pequeña. Os enlazo un vídeo para volvernos un poco locos:

1º de ESO: examen global de la 3ª evaluación

Aquí lo tenéis:

Examen

Solución

2º de ESO: examen global de la 3ª evaluación

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

1º de ESO: examen de geometría

Es muy importante que:

- sepáis hacer los cuatro primeros ejercicios sin despeinaros,

- entendáis perfectamente el resto del examen.

Examen

Solución

2º de ESO: examen de Pitágoras y semejanza

Como siempre: si os ha salido bien, olé; si no, ahora es el momento de detectar los fallos, mejorar y preparar el examen final de la próxima semana.

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

Sueños de la infancia

Me parece impresionante el trabajo que han realizado en España las autoridades deportivas, por ejemplo, las federaciones de fútbol y baloncesto, fomentando y trabajando una cantera que ha traído grandes resultados.

Desgraciadamente del trabajo de las autoridades educativas y científicas no se puede decir lo mismo: las leyes de educación son directamente delictivas, la inversión en I+D es vergonzante, nuestra industria tecnológica testimonial... los jóvenes talentosos han de emigrar y la economía está centrada en el sector servicios lo que nos convierte en un gran hotel, un gigantesco bar para turistas descerebrados y un geriátrico para alemanes.

Concurso de fotografía matemática 2020/2021

 El año que viene os espero a todos en la 2ª edición:

Aquí tenéis las fotos ganadoras:

Y aquí van todas con los comentarios (¡Bravo Nora y Murtaza!):

Concurso de fotografía matemática 2020/2021

1º de ESO. Material del tema 10: funciones

¿Qué es una función? Un profesor que me dio clase (magnífico aunque en esto no sé si tuvo un buen día) hacía una metáfora con lo de la foto (os lo explico en clase):

Las funciones se estudian en una de las ramas más importantes de las matemáticas, el Análisis, y tienen gran importancia práctica porque sirven para modelizar el mundo real. En vuestros próximos años en el instituto será un tema que irá cogiendo cada vez más peso y estos días vamos a intentar asimilar algunas ideas básicas (os daré la siguiente hoja fotocopiada en clase).

Hoja de ejercicios

¡Vamos que ya casi estamos arriba!

2º de ESO. Material del tema 11: áreas y volúmenes

Un tema interesante y bonito con un punto de dificultad porque los problemas son largos y requieren de una planificación inicial y una visión espacial a la que tenéis que empezar a acostumbraros. Procederemos:

1) ÁREAS Y VOLÚMENES.

Apuntes de áreas

Apuntes de volúmenes

Sólidos de revolución

2) TRONCOS.

Apuntes tronco de cono

Ejercicio resuelto

Apuntes tronco de pirámide

Ejercicio resuelto

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

2º de ESO. Preparando el examen de Pitágoras y semejanza

 Aquí van los exámenes de otros años:

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

1º de ESO. Preparando el examen de geometría

Os cuelgo los de otros años. Id dándoles un vistazo y en una clase de la próxima semana repasamos las dudas:

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Os enlazo también otros exámenes que contienen al final ejercicios de geometría:

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

Examen 7	Solución

Dímelo cantando

Esto no me sirve:

Esto es lo que hay que hacer:

Arquímedes

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, en la cima, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Enlace a un artículo sobre Arquímedes

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden lo mismo que el radio). La idea es ésta:

Las cuentas las tenéis en el primer ejercicio del siguiente examen (y la conclusión en el segundo):

Cuentas con el hexágono

Luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más; cuantos más lados, más se acercan los polígonos a la circunferencia y mejor es la aproximación). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil (nivel 2º de ESO), una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados.

Reto IV para 1º de ESO. Aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Va el dibujo y las pistas:

Reto IV para 2º de ESO. Aproxima p calculando las áreas de los octógonos inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Van las pistas:

1) Haz el reto de 1º de ESO y apunta cuánto valen la apotema y el lado del cuadrado inscrito (a y l). Con esos datos el lado L y la apotema A del octógono inscrito salen con un par de Pitágoras.

2) El octógono circunscrito se forma con rectas tangentes a la circunferencia (líneas discontinuas en el dibujo). Y en este caso se forman dos triángulos rectángulos isósceles que nos permiten obtener el lado L del octógono circunscrito. Como la apotema es 1, ya tenemos el área.

Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de  p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:

Pasados estos 1500 años los matemáticos encontraron mejores formas de aproximar p... CONTINUARÁ.

2º de ESO. Material del tema 10: semejanza

Espero que también os lo parezca a vosotros, para mí éste es un tema precioso. Iremos avanzando:

1) SEMEJANZA.

Apuntes

2) TEOREMA DE TALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

Apuntes

Vídeo de la demostración del Teorema de Tales

Ejercicios ejemplo

Solución

3) TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO.

Apuntes

Ejercicios ejemplo

Solución

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

Maths in real life

1º de ESO. Controlillo de ángulos y Pitágoras

INSTRUCCIONES

Hacedlo vosotros solos este fin de semana. Podéis usar la calculadora (¡sólo para calcular raíces cuadradas no exactas!). Explicad detalladamente los pasos que llevan a la solución (triangulitos aparte, Manu) y qué resultado o propiedad utilizáis en cada caso. Lo recojo el lunes (aunque se me queje Andrea L. por repetirme, ya sabéis, avión, pasaporte...) para pegarle un vistazo a lo que habéis hecho y en la próxima clase lo corregimos para que no queden dudas.

Los extras son difíciles, no os agobiéis.

Controlillo

Si os habéis quedado con ganas de ejercicios de ángulos del Concurso de Primavera, aquí tenéis más:

Ejercicios de ángulos