Hasta siempre

 No puedo imaginar una mejor última entrada para este blog:

Hasta el final

1º A, ¿sabéis que os quiero, verdad? Va con todo mi cariño. (Mi abogado me ha prohibido hacer las versiones de 1º C y 2º C 😂).

2º de ESO. Material del tema 12: probabilidad

Para mi gusto y en mi recuerdo la probabilidad es la parte de las matemáticas más difícil que me contaron en el instituto. Además es una parte que puede ser difícil de transmitir y explicar como profesor. Vamos a intentar pillar algunas ideas básicas.

Apuntes

Ejercicios

Aprovecho para enseñaros un mecanismo interesante: la máquina de Galton.

Imaginad un dispositivo como el de la figura por el que vamos dejando caer una bolita que tiene que superar varias barreras de obstáculos: en cada una, la bolita tiene la misma probabilidad, 0'5, de ir a la izquierda o a la derecha.

Es decir, en el fondo esto es como lanzar una moneda 8 veces y contar las caras (o las cruces):

- 0 caras (8 cruces) equivalen a que la bola acabe a la izquierda del todo,

- 4 caras (4 cruces) es como si la bolita cayese en el centro,

- 8 caras equivalen a que la bola acabe a la derecha del todo.

Este tinglado proporciona una hermosa demostración visual de uno de los resultados más importantes de las matemáticas, el Teorema Central del Límite (os espera en Bachillerato). Os presento a la famosa campana de Gauss.

1º de ESO. Material del tema 11: medidas

Es obvio que tanto para la vida diaria como para la ciencia, la técnica, la ingeniería, el arte, la poesía... ¡para todo!, el ser humano necesita MEDIR. Cómo lo hicimos y lo hacemos es una historia apasionante que todavía no ha acabado. Os voy a dar una pincelada.

Durante siglos surgieron localmente muchas medidas y con el tiempo quedaron claras dos necesidades:

1) Adoptar un patrón universal.

2) Definir exactamente ese patrón de forma que no cambiase nunca.

Vamos a tomar como ejemplo dos magnitudes: la masa (que ya deberíais saber que no es lo mismo que el peso, aunque en el día a día del planeta Tierra confundimos ambos conceptos) y la longitud.

Fue la Ilustración francesa la que dio un gran paso para cumplir el primer objetivo. Os enlazo un artículo en el que lo cuentan:

Creación del Sistema métrico decimal

¿Y el segundo objetivo? Mirad las dos siguientes fotos que corresponden a objetos que se encuentran en el Museo de Pesas y Medidas de París:

Y la verdad es que para medidas del día a día o para comprar naranjas eran buenas definiciones, pero los físicos (que pesan y miden partículas) necesitan mucha más precisión. Además, el cilindro de un kilo no está metido en dos campanas al vacío para que no lo roben sino ¡para evitar que con el tiempo y la corrosión ambiental cambie de masa! ¡Eso es un desastre, una unidad que no siempre va a valer lo mismo!

Por eso recientemente (los últimos cambios fueron en 2019) se intenta definir las unidades a partir de fenómenos inmutables de la naturaleza. 

Aquí nos lo cuentan

Y así, en la actualidad (y seguramente no de forma definitiva porque seguiremos buscando definiciones cada vez más precisas):

Metro (desde 1983): Longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en 1/299792,458 de segundo.

Kilogramo (desde 2019): A partir de la constante de Planck que relaciona la energía de un fotón con su frecuencia.

Hecha esta introducción, nosotros nos vamos a dedicar a trabajar con algunas unidades de medida típicas y, sobre todo, a manejar los múltiplos y submúltiplos:

El año que viene os meterán caña con estas cosas en Física y los próximos días trabajaremos la siguiente:

Hoja de problemas

Más allá de las 3 dimensiones

En 1º hemos trabajado las 2 dimensiones y en 2º la tercera, que es hasta donde llega, salvo que algún físico demuestre lo contrario (y lo están intentando) nuestra realidad, pero si algo tienen las matemáticas es que la realidad se le queda pequeña. Os enlazo un vídeo para volvernos un poco locos:

1º de ESO: examen global de la 3ª evaluación

Aquí lo tenéis:

Examen

Solución

2º de ESO: examen global de la 3ª evaluación

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

1º de ESO: examen de geometría

Es muy importante que:

- sepáis hacer los cuatro primeros ejercicios sin despeinaros,

- entendáis perfectamente el resto del examen.

Examen

Solución

2º de ESO: examen de Pitágoras y semejanza

Como siempre: si os ha salido bien, olé; si no, ahora es el momento de detectar los fallos, mejorar y preparar el examen final de la próxima semana.

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

Sueños de la infancia

Me parece impresionante el trabajo que han realizado en España las autoridades deportivas, por ejemplo, las federaciones de fútbol y baloncesto, fomentando y trabajando una cantera que ha traído grandes resultados.

Desgraciadamente del trabajo de las autoridades educativas y científicas no se puede decir lo mismo: las leyes de educación son directamente delictivas, la inversión en I+D es vergonzante, nuestra industria tecnológica testimonial... los jóvenes talentosos han de emigrar y la economía está centrada en el sector servicios lo que nos convierte en un gran hotel, un gigantesco bar para turistas descerebrados y un geriátrico para alemanes.

Concurso de fotografía matemática 2020/2021

 El año que viene os espero a todos en la 2ª edición:

Aquí tenéis las fotos ganadoras:

Y aquí van todas con los comentarios (¡Bravo Nora y Murtaza!):

Concurso de fotografía matemática 2020/2021

1º de ESO. Material del tema 10: funciones

¿Qué es una función? Un profesor que me dio clase (magnífico aunque en esto no sé si tuvo un buen día) hacía una metáfora con lo de la foto (os lo explico en clase):

Las funciones se estudian en una de las ramas más importantes de las matemáticas, el Análisis, y tienen gran importancia práctica porque sirven para modelizar el mundo real. En vuestros próximos años en el instituto será un tema que irá cogiendo cada vez más peso y estos días vamos a intentar asimilar algunas ideas básicas (os daré la siguiente hoja fotocopiada en clase).

Hoja de ejercicios

¡Vamos que ya casi estamos arriba!

2º de ESO. Material del tema 11: áreas y volúmenes

Un tema interesante y bonito con un punto de dificultad porque los problemas son largos y requieren de una planificación inicial y una visión espacial a la que tenéis que empezar a acostumbraros. Procederemos:

1) ÁREAS Y VOLÚMENES.

Apuntes de áreas

Apuntes de volúmenes

Sólidos de revolución

2) TRONCOS.

Apuntes tronco de cono

Ejercicio resuelto

Apuntes tronco de pirámide

Ejercicio resuelto

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

2º de ESO. Preparando el examen de Pitágoras y semejanza

 Aquí van los exámenes de otros años:

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

1º de ESO. Preparando el examen de geometría

Os cuelgo los de otros años. Id dándoles un vistazo y en una clase de la próxima semana repasamos las dudas:

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Os enlazo también otros exámenes que contienen al final ejercicios de geometría:

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

Examen 7	Solución

Dímelo cantando

Esto no me sirve:

Esto es lo que hay que hacer:

Arquímedes

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, en la cima, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Enlace a un artículo sobre Arquímedes

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1 podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden lo mismo que el radio). La idea es ésta:

Las cuentas las tenéis en el primer ejercicio del siguiente examen (y la conclusión en el segundo):

Cuentas con el hexágono

Luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más; cuantos más lados, más se acercan los polígonos a la circunferencia y mejor es la aproximación). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil (nivel 2º de ESO), una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados.

Reto IV para 1º de ESO. Aproxima p calculando las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Va el dibujo y las pistas:

Reto IV para 2º de ESO. Aproxima p calculando las áreas de los octógonos inscrito y circunscrito de una circunferencia de radio 1 (cuya área es, por lo tanto p). Van las pistas:

1) Haz el reto de 1º de ESO y apunta cuánto valen la apotema y el lado del cuadrado inscrito (a y l). Con esos datos el lado L y la apotema A del octógono inscrito salen con un par de Pitágoras.

2) El octógono circunscrito se forma con rectas tangentes a la circunferencia (líneas discontinuas en el dibujo). Y en este caso se forman dos triángulos rectángulos isósceles que nos permiten obtener el lado L del octógono circunscrito. Como la apotema es 1, ya tenemos el área.

Epílogo. El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de  p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:

Pasados estos 1500 años los matemáticos encontraron mejores formas de aproximar p... CONTINUARÁ.

2º de ESO. Material del tema 10: semejanza

Espero que también os lo parezca a vosotros, para mí éste es un tema precioso. Iremos avanzando:

1) SEMEJANZA.

Apuntes

2) TEOREMA DE TALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

Apuntes

Vídeo de la demostración del Teorema de Tales

Ejercicios ejemplo

Solución

3) TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO.

Apuntes

Ejercicios ejemplo

Solución

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

Maths in real life

1º de ESO. Controlillo de ángulos y Pitágoras

INSTRUCCIONES

Hacedlo vosotros solos este fin de semana. Podéis usar la calculadora (¡sólo para calcular raíces cuadradas no exactas!). Explicad detalladamente los pasos que llevan a la solución (triangulitos aparte, Manu) y qué resultado o propiedad utilizáis en cada caso. Lo recojo el lunes (aunque se me queje Andrea L. por repetirme, ya sabéis, avión, pasaporte...) para pegarle un vistazo a lo que habéis hecho y en la próxima clase lo corregimos para que no queden dudas.

Los extras son difíciles, no os agobiéis.

Controlillo

Si os habéis quedado con ganas de ejercicios de ángulos del Concurso de Primavera, aquí tenéis más:

Ejercicios de ángulos

Mapamundi

Si nos piden que pensemos en un mapa de nuestro planeta, a la mayoría nos viene algo así a la cabeza:

Mapamundi de Mercator

Y si a la vista del mismo nos preguntaran, por ejemplo, ¿qué es más grande, Groenlandia o África?, tendríamos que pensarnos la respuesta... aunque en realidad no hay mucho que pensar:

- Superficie de Groenlandia = 2'2 millones de km.

- Superficie de África = 30'4 millones de km.

Sí, África es unas 14 veces mayor que Groenlandia. ¡¿Qué está pasando aquí?!

Naturalmente todo tiene una explicación (¡matemática!) y es la siguiente:

No es posible representar, de forma semejante, la superficie de una esfera (y la Tierra lo es) en un plano. Es decir, podemos hacer "una especie de boceto", pero siempre habrá alguna distorsión.

El mapamundi más habitual (el de arriba) se basa en la proyección cartográfica de Mercator, que tiene la pega de que aumenta el tamaño de las regiones según se alejan del ecuador (y se acercan a los polos). Para que veáis más claro el "efecto mercator":

Hay otras opciones aunque todas tienen sus pegas. Por ejemplo, los dos siguientes mapamundis respetan mejor los tamaños de las regiones terrestres (¿cómo veis ahora lo de África y Groenlandia?), pero el primero es un lío para las distancias por mar y en el segundo es muy difícil orientarse:

Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:

Todos los mapas que conoces están mal

El mapa que mejor respeta las proporciones también está mal

Construyendo mi ataúd

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. Ya os aseguro que quepo. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas (los de 2º ya las sabéis; los de 1º sabéis las dos primeras y podéis entender la tercera):


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue (matemáticamente existe y en el mundo real no lo sabemos -nadie ha demostrado que haya más de 3 dimensiones espaciales pero algunas teorías físicas sí plantean esta posibilidad-), y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

1º de ESO: examen de estadística

Pegadle un último vistazo para que no os quede ninguna duda.

Examen

Solución

Aprovecho y os enlazo una presentación del Teorema de Pitágoras con lo que os he contado en clase:

Teorema de Pitágoras

¿Está claro?

1º de ESO: ejemplos de controlillos de operaciones con ángulos

Aquí os subo los ejercicios que hicimos en clase (¿a que controlillo suena mejor que colchón para el futuro y "terrorífico" examen de geometría? 💀):

Controlillo I

Controlillo II

2º de ESO: examen de funciones

Quiero que este fin de semana le deis un repaso al vuestro y hagáis (en modo examen: solos, una hora) el del otro grupo. Los exámenes no son el final del proceso sino la etapa en la que uno detecta deficiencias y las soluciona.

Examen 2A	Solución

Examen 2C	Solución

2º de ESO. Material del tema 9: teorema de Pitágoras

En este tema vamos a ver y a sacarle partido al Teorema de Pitágoras. Al principio aprovecharemos para repasar el estudio de longitudes y áreas que se ve en 1º de ESO. Iremos en este orden:

1) Teorema de Pitágoras.

2) Repaso del estudio de longitudes y áreas.

3) Ejercicios de aplicación.

Utilizaremos el siguiente material:

Teorema de Pitágoras

Perímetros y áreas de figuras elementales (1º de ESO)

Ejercicios de repaso (1º de ESO)

Hoja de ejercicios

Ejemplos de ejercicios duros

Ejemplos de ejercicios duros (solución)

2º de ESO. Preparando el examen de funciones

Aquí os subo los exámenes de años anteriores:

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

Nota: los cuatro primeros son de 2º de ESO y en los dos últimos hay algunas preguntas (sobre todo el tema de dominios) más propias de 3º, que no os voy a poner.

1º de ESO. Material del tema 9: geometría

Viene un tema potente e importante que a mí me divierte mucho dar y en el que hasta ahora mis alumnos siempre han hecho mejores exámenes de lo que yo esperaba (es porque siempre tengo la impresión de que es un tema más difícil para vosotros de lo que al parecer es en realidad). ¡Estoy seguro de que este año va a pasar lo mismo!

Iremos en este orden (si hacéis clic aparecerá el material básico para cada apartado):

1) ÁNGULOS.

2) FIGURAS GEOMÉTRICAS.

3) TEOREMA DE PITÁGORAS.

4) LONGITUDES Y ÁREAS.

Tercer reto de Pi

Vamos con un reto de corte "literario". Dejadme que os recite un poema: 

Soy y seré a todos definible

mi nombre tengo que daros

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros.

¿Feo? Bueno, eso es porque la gracia está en que al contar las letras de cada palabra obtenemos las 20 primeras cifras decimales de p. 

Reto III de p: Tenéis que escribir algo con sentido de entre 20 y 30 palabras (a ver si os sale poético, sabio y/o gracioso) para continuar el comienzo "Epi y Blas".

Aunque son de mi época supongo que los conocéis:

Por si os sirve de ayuda aquí os enlazo:

Personajes de Barrio Sésamo

¡Superad esto!

Uffffff, yo lo odiaba y me parecía aburridísimo... aunque acabo de ver este vídeo y me he desternillado de risa de lo malo que es:

¡Sois grandes!

 ¡Bravo, habéis estado fantásticos!

Guion, montaje, interpretación, música... todo es para:

2º de ESO: control de funciones lineales

Este es el tipo de ejercicios con el que quiero que os sintáis cómodos. Aseguraos estos días de vacaciones de que lo entendéis todo y sabéis resolverlos con soltura:

Control

A la vuelta veremos parábolas (fácil pero hay que pillarlo) e interpretación de gráficas (fácil) y haremos el examen del tema.

¡Feliz Semana Santa!

Es muy duro para mí separarme de vosotros durante tantos días seguidos y quiero transmitiros mi dolor: hoy unos amigos van a venir a buscarme a la salida del instituto y este vídeo recoge lo que voy a sentir:

Estoy convencido de que vosotros experimentáis sentimientos parecidos hacia mí. ¡Así es el amor verdadero!

Descansad, pasadlo bien... y un poquito de mates al día no hacen daño.

And the winner is...

 Ahí tenéis al Brujo de la Tribu. ¡Grande!

El Conjunto de Mandelbrot

 Os presento una de las imágenes más famosas de las matemáticas:

Conjunto de Mandelbrot

¿Qué es eso y qué tiene que ver con p?

Hagamos historia: a principios del siglo XX los matemáticos empezaron a estudiar un nuevo conjunto de objetos, los fractales. Simplificando mucho se trata de objetos cuya estructura se repite a distintas escalas. Se entiende bien con un ejemplo. Copio en la entrada de la Wikipedia del Copo de nieve de Koch.

Se toma un segmento, 

se divide en tres partes iguales, 

se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. 

Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.

Y esto seguiría hasta el infinito... ¡y más allá!

Un poquito más complicados son los Conjuntos de Julia.

¡Qué bonitas son las Julias! 😍😍

Y un poquito más complicado es el Conjunto de Mandelbrot. ¿Os apetece verlo de cerca? (¡Más de dos horas de vídeo!).

¿Y dónde demonios aparece p por ahí? En el culo y en el cuello:

p en el Conjunto de Mandelbrot

Aquí lo cuentan en un vídeo (en inglés):

Reto II. (No me podéis decir que están siendo difíciles). ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 3ª iteración? Se supone que el primer segmento mide 1.

Extra. ¿Cuánto mide el Copo de nieve de Koch en la 4ª iteración? ¿Y en la 5ª? ¿Os atrevéis con la n-ésima iteración?

Exámenes globales de la 2ª evaluación

Para mi gusto he estado un poco suave  en estos exámenes (ya veremos la próxima semana cómo ha salido la cosa). Estaré contento si os sentís cómodos con TODOS los ejercicios propuestos. Me gustaría que estas próximas fiestas le deis -los aprobados- un último repaso y, los demás, que los miréis de cara a las recuperaciones de final de curso.

Examen de 1º de ESO

Examen de 2º de ESO

Y no estaría de más que trabajéis esta parte de álgebra (con el material que he colgado, en particular los exámenes antiguos) porque va a tener mucho peso en los próximos cursos.

La 3ª evaluación va a ser dura (sobre todo en 2º porque vamos a tener que intentar recuperar los déficits del curso pasado -especialmente en la parte de geometría-; en 1º no creo que sea tan importante y podremos dar el nivel estándar). Descansad y volved con ganas.

Pruebas del Concurso de Primavera

Aquí os enlazamos las pruebas para que os piquéis en sacar todas las preguntas (al terminar y Enviar os permitirá ver vuestras respuestas y las correctas):

PRUEBA DE 1º Y 2º DE ESO

PRUEBA DE 3º Y 4º DE ESO

PRUEBA DE BACHILLERATO

1º de ESO. Preparando el examen global de la 2ª evaluación

Mi propuesta es la siguiente:

- VIERNES: dadle un buen repaso a lo que hemos visto esta evaluación. Estudiad como si el examen fuese al día siguiente.

- SÁBADO POR LA MAÑANA: haced solos, sin ningún tipo de ayuda, estos ejercicios típicos:

Ejercicios

- SÁBADO A LAS 16:00: me conectaré en el grupo 1º de ESO: clase de dudas de mates de Teams y corregiré con los que estéis online los anteriores ejercicios.

Quienes no podáis hacerlo en los plazos que he marcado id a vuestro aire. Cuando terminemos la sesión colgaré el vídeo con la solución para que lo tengáis disponible:

Vídeo con la corrección

(*) Había una errata en el ejercicio 11. Donde decía 87 canicas debía decir 78 (lo he corregido).

2º de ESO. Preparando el examen global de la 2ª evaluación

Os cuelgo exámenes de otros años:

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

1º de ESO. Material del tema 8: estadística

Llegamos a un tema muy importante en el que vamos a intentar entender la utilidad y las herramientas típicas de la Estadística descriptiva.

Os enlazo los apuntes, un ejercicio ejemplo que iremos haciendo en paralelo durante las clases y una hoja con ejercicios de examen.

Apuntes

Ejercicio ejemplo

Ejercicio ejemplo (solución)

Ejercicios de examen

2º de ESO. Material del tema 8: funciones

El Análisis es una de las ramas más importantes de las matemáticas, tanto desde un punto de vista teórico como de aplicación. Vamos a hacer nuestro primer acercamiento a lo que irá cada vez teniendo más peso en vuestras asignaturas del instituto. No es difícil pero hay que trabajar duro.

Seguiremos el siguiente índice:

1) Definición.

2) Funciones polinómicas de grado 1 (rectas).

3) Funciones polinómicas de grado 2 (parábolas).

4) Representación e interpretación gráfica.

Y usaremos el siguiente material:

Hoja de ejercicios

Material complementario: la hoja anterior contiene las tareas y problemas típicos que quiero que dominéis. A continuación os voy a colgar, simplemente para que lo tengáis a vuestra disposición quienes queráis profundizar un poquito, el material que preparé el año pasado para las clases durante el confinamiento (sí, mis alumnos me acabaron odiando más de lo que ya me odiaban). 

Boceto de una parábola

Vértice de una parábola

Intersección de funciones

Aplicación de las parábolas I

Aplicación de las parábolas II

Aplicación de las parábolas III

Interpretación gráfica I

Interpretación gráfica I (solución)

Interpretación gráfica II

Interpretación gráfica III

Examen I

Examen I (solución)

Examen II

Examen II (solución)

Examen II (solución en vídeo)

¡Feliz Día de Pi!

Ya sabéis que los ingleses van de raritos: conducen por la izquierda, no escriben como pronuncian, miden en unidades extrañas... y dicen antes el mes que el día. El 14 de marzo, para nosotros 14-3, es para ellos 3-14, ¡el Día de Pi! Siguiéndoles la corriente marzo es considerado "el mes de las matemáticas".

Para celebrarlo vamos a empezar una serie de entradas en las que os contaré cosas sobre Pi y en cada una os propondré un reto (algunos fáciles, otros más duros y, por ello, muy interesantes). Los que los resolváis todos entraréis en el sorteo de dos camisetas de Pi.

¿"Quién" es Pi?

Si giramos una rueda una vuelta completa, la longitud recorrida es tres veces y pico la longitud de su diámetro: es decir, como número p es tres y pico.

A lo largo de la historia p ha seguido apareciendo continuamente, por sorpresa muchas veces, en multitud de sitios. Hablaremos pronto de algunos de esos lugares, pero por ahora vamos a quedarnos con dos ejemplos curiosos:

- ¡en los ríos!

- y en la aguja de Buffon:

Naturalmente, la aproximación será mejor cuantos más lanzamientos hagamos. Aquí os enlazo una web en la que podéis hacer simulaciones:

Simulador de la aguja de Buffon

Reto I. Vamos a empezar con algo facilito (es una especie de "p-trabalenguas").

Cuánto vale el área de la circunferencia grande si sabemos que:

- el radio de la pequeña es p,

- la circunferencia grande está fija,

- la circunferencia pequeña rueda sobre el interior de la grande (pegada a ella),

- cuando la pequeña da una vuelta completa a la grande y vuelve al sitio de partida, ha girado exactamente p vueltas sobre sí misma.

Recordatorio: en una circunferencia de radio r: