El mundillo matemático (II): los más grandes

¿Quiénes son los más grandes matemáticos de la Historia? Voy a reducirlo mucho (son los que están pero no están muchos de los que son):

Arquímedes (s. III a. de C.): unos de los mayores genios de la Antigüedad. Algunos de sus trabajos anticiparon ideas del cálculo infinitesimal que se desarrollaría dos milenios más tarde. Murió asesinado por un soldado romano en el sitio de Siracusa pese a que había órdenes de capturarlo vivo.

Newton (s. XVII): el Dios absoluto de la Ciencia. Su "Philosophiæ naturalis principia mathematica" es la obra científica más importante de la Historia: establece los cimientos de la Física y revoluciona las Matemáticas con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal (otro gran matemático, Leibniz, lo descubrió de forma independiente en la misma época y la polémica fue de órdago).

Euler (s. XVIII): quedarse ciego no le impidió ser el matemático más prolífico de la historia. Trabajó en multitud de campos siendo pionero en muchos de ellos.

Gauss (s. XIX): conocido como el "Príncipe de las Matemáticas" fue posiblemente el último gran matemático capaz de dominar todos los campos: geometría, álgebra, topología, estadística...

¿Y un "poco" más modernos? ¿En los últimos tiempos? Vamos a dejarlo también en cuatro:

Andrew Wiles: demostró en 1993 el Último Teorema de Fermat, que había resistido más de tres siglos a los mejores matemáticos del mundo.

Terence Tao: un ex-niño prodigio ya en la cuarentena. Especialista en Teoría de números, resuelve como si nada problemas inaccesibles para el resto de los mortales. Si hacéis clic en la imagen podéis visitar su blog (el segundo mejor blog de matemáticas del mundo 😂).

Grigori Perelman: muy famoso, por haber demostrado la Conjetura de Poincaré... y por ser un "bicho raro" que vive apartado y renunció a varios premios (y a sus correspondientes millones de dólares).

Maryam Mirzajani: espero que no necesite presentación en este blog. Primera mujer en ganar la Medalla Fields.

¿Y alguno de nuestra tierra? Desgraciadamente España no ha destacado en la historia de la Humanidad por el talento de sus científicos. Entre las honrosas excepciones se encuentra un paisano nuestro, el logroñés:

Julio Rey Pastor

El mundillo matemático (I)

En la antigüedad toda la ciencia (matemáticas, física, biología...) entraba dentro de la consideración de Filosofía (por ejemplo, todos los grandes matemáticos griegos eran filósofos). Con el paso del tiempo se produjo la inevitable especialización y en la actualidad podríamos decir que no existen las matemáticas como una sola ciencia sino como un conjunto de muchas: el álgebra, el análisis, la geometría, la topología, la teoría de números,... y eso es seguir siendo muy general: la mayoría de los matemáticos son especialistas en campos muy determinados, y sólo los muy buenos tienen capacidad para trabajar en varios a la vez.

Clasificación de disciplinas matemáticas de la Unesco

¿Dónde y cómo trabajan los matemáticos? Desarrollan sus investigaciones en universidades, centros tecnológicos, agencias gubernamentales, empresas privadas... casi siempre de forma colaborativa, en equipo. La inmensa mayoría son personas muy "normalitas", que trabajan las horas que les toca y luego, en su vida normal, son indistinguibles de sus vecinos. ¿Por qué digo esto? Porque la idea que suele dar la literatura o el cine de los matemáticos, con el típico genio rarito, excéntrico, insociable e inadaptado, es la excepción (haberlos haylos), no la regla.

Exactamente, ¿cómo desarrollan su trabajo? Intentando resolver problemas, unos más importantes que otros, algunos con aplicaciones inmediatas (en física, química, ingeniería, economía...) y otros más abstractos. Cuando consiguen un resultado que creen importante suele ocurrir lo siguiente:

- lo envían a una revista especializada,
- el editor de la revista, si cree que tiene interés, se lo pasa a los llamados referees (árbitros), que son matemáticos especialistas en el campo sobre el que versa el trabajo,
- si los referees dan el visto bueno el editor publica el artículo. Si no, el artículo es devuelto sin publicar con indicaciones sobre sus errores o su poco valor. Lo más cruel que te pueden decir es:

Su artículo tiene ideas nuevas e interesantes, lo malo es que 

las nuevas no son interesantes y las interesantes no son nuevas.

- además, en congresos especializados, los matemáticos se reúnen y se ponen al día de los avances en sus investigaciones.

¿Premios, dinero? Eduardo os lo va a contar mejor:

1º de ESO: preparando el examen de números enteros

 El plan es:

- esta semana os explico lo último que nos queda por ver y seguimos practicando operaciones,

- en la primera clase de la semana que viene repasamos. Para ello quiero que antes hagáis estos ejercicios que corregiremos en clase (y nos pondremos nota).

Ejercicios de entrenamiento para el examen

- en la segunda clase (jueves el A y viernes el C), ¡qué emoción, qué ilusión!, hacemos el examen.

2º de ESO: preparando el examen de números reales

 Aquí tenéis ejercicios similares a los que os pondré:

Ejercicios tipo examen

y os cuelgo una hoja de operaciones con fracciones para que practiquéis (tienen solución; son de 1º de ESO; las cosas se complicarán en el próximo tema y estaría bien que os sintieseis cómodos haciendo estos ejercicios):

Operaciones con fracciones

La conjetura de Golbach

Os voy a hablar de uno de los problemas no resueltos más importantes de la actualidad y con el que se llevan peleando (siendo "derrotados") grandes matemáticos de los últimos ¡280 años! Parte de su atractivo reside en que todos podemos entenderlo.

A mediados del siglo XVIII Golbach conjeturó:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

No está demostrado. No se sabe si es cierto o falso (por eso se llama conjetura). Vamos a probar:

4=2+2 (puede ser el mismo primo sumado dos veces)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5 (éste se puede poner de dos formas)

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

...

30=7+23=11+19=13+17 (éste se puede poner de tres formas)

...

1000000=17+999983 (sí, 999983 es primo; me lo guardo para el próximo examen ;)

...

...

Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la conjetura es cierta por lo menos hasta 10¹⁸ (un uno seguido de 18 ceros, 1000000000000000000).

Lo que más me interesa que pilléis, la moraleja, es que si consiguiésemos encontrar un número par de forma que no se pudiese poner como suma de dos primos, automáticamente demostraríamos que la conjetura de Golbach no es cierta, pero que sea verdad para “muchos números pares” (para todos con los que hemos probado) no sirve como una demostración de que sí sea cierta, ¡porque los números pares son infinitos! No nos vale con probar y probar con más y más números porque nunca terminaremos de probarlo con todos, tenemos que encontrar alguna otra manera de demostrarlo. Y hasta ahora nadie lo ha conseguido (los matemáticos están "casi" seguros de que es cierta).

Reto: rellenadme uno de los huecos que he dejado arriba: demostrad que los números 18, 20, 22, 24, 26 y 28 se pueden poner como suma de dos números primos (quiero todas las posibilidades cuando haya más de una). Entre los que lo hagáis sortearemos una calculadora. El plazo termina el lunes 2 de noviembre a las 23:59.

Bueno, y si alguno se viene arriba y encuentra una demostración, que me lo diga y llamamos a la televisión. Además se va a llevar una pasta con la Medalla Fields o el Abel, los premios "Nobel" de las mates de los que os hablaré otro día.

1º de ESO: examen de divisibilidad

Un rato de trabajo intensivo en casa esta misma tarde (o el fin de semana) haciendo el examen y consultando la solución, es una magnífica herramienta de estudio. 

Ahí los tenéis:

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución

1º de ESO. Material del Tema 2: números enteros

Dejadme que os cuente dos historietas personales (como hacemos los viejos):

1) Recuerdo perfectamente cuando me explicaron en el colegio los números enteros (me parecieron muy fáciles) y lo que nos dijo el profesor (Don Félix, una maravilla -sí, entonces ni profe ni leches: ¿cómo os suena Don David?): "al ser humano nos costó muchos siglos entender estos números". Es curioso pero hasta el siglo XV los matemáticos no empezaron a trabajar con ellos más o menos como lo hacemos ahora y todavía entonces se les llamaba "números absurdos".

2) ¿Os he dicho que me parecieron muy fáciles, verdad? La primera vez que di clase en un instituto tenía de compañero a un novato como yo (al que también le habían parecido fáciles los números enteros en el cole) y recuerdo que antes de empezar el tema (los dos dábamos 1º de ESO) hablamos en el departamento de lo que íbamos a hacer: "esto es una chorrada, lo contamos en una hora y a otra cosa". "Vale". Pasaba por allí otro compañero con más experiencia: "¿estáis locos? A esto hay que dedicarle mucho tiempo, para ellos es un lío, se van a equivocar en esto, en aquello, en esto otro y en esto otro aquello". Lo clavó. Efectivamente, es muy fácil, pero os va a parecer muy lioso.

Poco a poco, ¡vamos a por ello! Seguiremos este índice:

1) Definición.

2) Representación en la recta.

3) Valor absoluto.

4) Operaciones.

5) Problemas.

Y haremos esta:

Hoja de ejercicios de números enteros

1º de ESO: preparando el examen de divisibilidad

Quiero que este fin de semana:

1) Le metáis un buen repaso a lo que hemos visto en clase de divisibilidad (vuestros magníficos apuntes son la mejor herramienta).

2) En una hora de reloj hagáis el siguiente modelo de examen (parecido al que os pondré):

Modelo de examen de divisibilidad

3) Consultéis la solución y os pongáis nota (¡corregid a lo bestia, a bien o mal!).

Solución del examen

4) A continuación me contéis cómo ha ido la cosa rellenando el siguiente formulario (tenéis que entrar con vuestro usuario y contraseña de Teams).

Formulario

5) Todas las dudas que os queden intentaremos resolverlas en la próxima clase. Pero para que tengamos éxito es muy importante vuestro esfuerzo individual previo.

Aquí tenéis varios exámenes que puse en cursos anteriores y que también os pueden servir (ya veis que son todos muy parecidos):

Ejemplo_1	Solución
Ejemplo_2	Solución
Ejemplo_3	Solución

Cuatro momentos de shock para la Humanidad

Hay varios momentos en la Historia de la Humanidad en los que la ciencia ha llegado a descubrimientos que han roto las creencias tenidas hasta ese momento por inmutables. Os voy a hablar de cuatro de ellos:

1) Los números irracionales: os lo he contado en la anterior entrada. Los griegos del siglo V antes de Cristo pensaban que todos los números eran fracciones (que podían expresarse como "trocitos" del 1). Aquí os intento explicar el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de 2 (no es complicado pero sí muy lioso para vosotros que todavía no estáis acostumbrados a razonamientos abstractos; os invito que cojáis lápiz y papel, os concentréis e intentéis entenderlo y reproducirlo).

2) Las matemáticas no son infalibles: uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Kurt Gödel (todo un personaje; os recomiendo que leáis su biografía en la Wikipedia) demostró que hay resultados en matemáticas que no son ni ciertos ni falsos (ojo, no estoy diciendo que no se sepa si son ciertos o falsos -de esos hay muchos-, digo que no son ni lo uno ni lo otro). Esto fue una cura de humildad para la reina de las ciencias, que siempre había "presumido" de ser un edificio de una completa lógica (y lo lógico es que algo sea cierto o falso).

3) La dilatación del tiempo: Einstein descubrió en sus dos teorías de la Relatividad que el tiempo transcurre a distinta "velocidad" para personas si estos se mueven entre sí o si están situados (o no) cerca de objetos con mucha masa. La película Interstellar juega con esa idea: un padre hace un viaje espacial en el que pasa un ratito en un planeta cercano a un agujero negro con mucha masa.

Cuando "poco tiempo después" (para él), vuelve del viaje, se produce el emotivo reencuentro:

Pero no hace falta ir a las cercanías de un agujero negro: nuestros dispositivos GPS funcionan porque tienen en cuenta este hecho.

4) Los electrones son unos cachondos: uno de mis vídeos favoritos.

¿Qué cara se os ha quedado?

Los números irracionales

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en partes iguales (ellos decían que todos los números eran conmensurables porque podían compararse con el 1).

Traducido a nuestras matemáticas actuales equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. En algunos casos eso es cierto:

Pero, ¿es cierto para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción?

Los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil. Igual me animo y os hago un vídeo. Aquí os adelanto un par de demostraciones para los que tengáis curiosidad (existe una un poquito más sencilla):

Raíz de 2 es irracional

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" entre matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y quien quiera entender esto tendrá que ir a la Universidad a estudiar matemáticas... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

Haylos (¿a que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?):

2º de ESO: examen de números enteros y divisibilidad

Ahí los tenéis. A ver qué tal os han salido:

Examen de 2º A	Solución
Examen de 2º C	Solución

Solución al reto criptográfico

Muchas gracias a los que lo habéis intentado. Mañana sortearemos una calculadora entre Brayan y Nora (¡1º C al poder!) y Lucía (que ha salvado el honor de 1º A):

Si descomponemos 41989 (hay que probar a dividir por 2, 3, 5, 7... ¡hasta su raíz entera!, que una calculadora nos dice que es 204 (raíz cuadrada = 204'91). Tiramos de Wikipedia:

Naturalmente con la calculadora (y recordando la pista que os di, que los primos iban a estar cerca de la raíz entera) empezamos probando con el 199 y ¡bingo!

41989 = 199 x 211  (uno más pequeño y el otro más grande que la raíz entera)

Sumamos las cifras del menor, 1 + 9 + 9 = 19 y sabemos que el mensaje codificado está escrito trasladando el alfabeto 19 lugares a la derecha, es decir:

y ya sólo nos queda hacer la descodificación, vosotros a mano y yo con un programita que me he hecho (para hacer cuentas y cosas automáticas los ordenadores son los mejores amigos del hombre):

En el siguiente enlace tenéis el programita para codificar y descodificar mensajes. Si queréis probarlo descargadlo en vuestro ordenador (no funciona online). ¡Ya podéis mandaros mensajes secretos! (pero cuidado que no es un método seguro; cualquiera con el programita lo descodifica en segundos).

Codificador/descodificador de César

1º de ESO: reto criptográfico

A ver cómo se os da. Tenéis de plazo hasta el próximo lunes 12 de octubre a las 23:59. Entre los que lo resolváis sortearemos una calculadora. Os cuento:

La criptografía consiste en codificar un mensaje de forma que, aunque llegue a manos indebidas, éste no pueda ser descifrado. Teniendo en cuenta la gran cantidad de información que intercambiamos hoy en día, sobre todo a través de Internet, es un tema muy importante y un campo en el que trabajan muchos de los mejores matemáticos del mundo.

Pero este asunto ha interesado al ser humano desde hace mucho tiempo. Julio César codificaba los mensajes de sus ejércitos con, se llama así por eso, el cifrado de César, que consiste en trasladar el alfabeto un número de lugares a la derecha. Veamos un ejemplo para entenderlo: la siguiente tabla muestra el alfabeto trasladado 2 lugares hacia la derecha:

y así, si queremos enviarle a alguien el mensaje "secreto" (no ponemos espacios en blanco)

HOLACOMOESTAS

escribiríamos

FNJYANKNCQRYQ

y cuando llegase al destinatario, él lo descodificaría (se supone, claro, que conoce las reglas).

La verdad es que Julio César tuvo mucha suerte de que sus enemigos no tuviesen ni idea de matemáticas (por algo se les llamaba bárbaros), porque su método es muy fácil de romper (romper es la palabra que se usa para decir que las reglas de un método han sido descubiertas y ya no es seguro utilizarlo). Por cierto, hay una película, basada en hechos reales, en la que se cuenta cómo los ingleses lograron romper Enigma, la máquina que los nazis utilizaban para codificar sus mensajes durante la II Guerra Mundial.

Vamos a ver si vosotros sabéis más matemáticas que los bárbaros que vivían al norte del Imperio Romano. El reto es: he utilizado el método de César para codificar un mensaje y me ha quedado

MABIUSWKWAMABWAZWTIUWA

¿Qué dice el mensaje original?

Indicación: he trasladado el alfabeto a la derecha un número de posiciones igual a la suma de todas las cifras del menor de los dos números primos en los que se descompone 41989. (Pista: los he cogido lo más grandes posible y, por lo tanto están cerca de...). Me tenéis que decir cuáles son los dos números primos y el mensaje original. Buscad en Internet una lista de números primos.

Comentarios:

1) Un método que mejora un poco el de César consiste en reordenar el alfabeto como nos de la gana. Por ejemplo:

Este método tampoco es muy seguro, y una forma básica de intentar romperlo es estudiar cuántas veces aparece cada una de las letras en el mensaje y compararlas con las veces que aparece cada letra en el idioma en el que se cree que está escrito el original. Por ejemplo, en español se sabe que la letra que más aparece es la E, luego la A, etc, con los siguientes porcentajes aproximados (Fuente: Wikipedia):

2) Descomponer 41989 en sus factores primos os va a costar muy poco jugando con la calculadora (es inmediato aprovechando la pista), pero hacer lo mismo a ciegas con un número grande es una tarea muy larga y pesada (hay que ir probando números hasta encontrarlos: utilizando los ordenadores actuales más potentes, la tarea podría durar siglos). Es por eso que los números primos son la base matemática de métodos seguros (¡de momento!) para codificar mensajes.

3) Cuando publique la solución del reto os colgaré un programita para codificar y descodificar mensajes.

2º de ESO. Material del Tema 2: números reales

 En el libro lo llama "Tema 2: Fracciones y decimales" pero a mí me gusta más esta denominación.

Vamos a repasar cosas de 1º pero hay novedades. Seguiremos el siguiente índice:

1) Números racionales (fracciones).

2) Números reales.

3) Operaciones con fracciones.

4) Estudio del error.

5) Problemas con fracciones.

Y trabajaremos con el siguiente material:

Hoja de ejercicios

Solución a los problemas con fracciones

2º de ESO: control de números enteros y divisibilidad

Lo voy a repetir hasta la extenuación:

1) Los exámenes son una herramienta de estudio: el profesor os marca en ellos lo que quiere que entendáis y sepáis hacer. Dedicarle un rato de esfuerzo individual en casa, a ser posible la misma tarde que lo habéis hecho en clase, es una de las mejores herramientas que tenéis para aprender matemáticas y os va a cundir más que muchas horas de estudio en otro momento.

2) Mi consejo:

- descargaos los dos exámenes (el vuestro y el del otro grupo),

- hacedlos, con calma, teniendo los apuntes a mano, centrándoos sobre todo en lo que no os haya salido al hacer el examen en clase,

- mirad la solución (este año las voy a colgar en vídeo; intentaré tenerlas para el miércoles),

- preguntadme cualquier duda que os haya quedado. Pero insisto, es muy importante el trabajo y esfuerzo individual, en solitario.

Ahí los tenéis. A ver qué tal os han salido:

Examen de 2º A	Solución
Examen de 2º C	Solución

Solución al reto del redondeo

En el recreo del próximo martes sortearemos una calculadora entre Lucía, Andrea G., Ahmad y Murtaza (de 1º A) y Brayan (1º C) que han resuelto el reto del redondeo. Ahora os explico a todos la solución y os hablo del redondeo gaussiano.

Para encontrar la solución al reto que os propuse, decidí ayudarme de Mathematica, el programa que utilizan los matemáticos para hacer cuentas (es una calculadora a lo bestia). Y me encontré con esto:

¡¡¿Cómooooooo?!! 

Me gustaría poder ver vuestras caras de sorpresa. Voy a intentar explicároslo.

Recordamos lo que os propuse: un día seis de vosotros me pedís que os preste un poco de dinero porque no tenéis suficiente para el bocadillo, y yo os dejo (€):

1’49     2’90     2’50    1’51     2’10     1’50

y cuando llega el día en el que me vais a pagar os digo, “escuchad, que no quiero calderilla, nada de céntimos, redondead CADA UNO lo que me debe y me pagáis en euros”.

Entonces redondeáis vuestra deuda según la regla HABITUAL que hemos visto en clase, esa que dice:

cuando la parte decimal es menor que 0’5 se redondea al entero inferior, y cuando es mayor o IGUAL a 0’5 se redondea al superior (al revés con números negativos),

y el resultado es:

Redondear[1’49]=1
Redondear[2’90]=3
Redondear[2’50]=3
Redondear[1’51]=2
Redondear[2’10]=2
Redondear[1’50]=2

¡Menudo negocio que iba a hacer yo! Os presto:

1’49+2’90+2’50+1’51+2’1+1’50=12 euros,

y me tenéis que devolver:

1+3+3+2+2+2=13 euros.

Esto es una consecuencia de redondear siempre “hacia arriba” los números cuya parte decimal es 0’5. ¿Por qué SIEMPRE hacia arriba en vez de hacia abajo? Teniendo en cuenta que estamos justo en el medio, ¿no sería mejor redondear algunas veces hacia arriba y otras hacia abajo? ¿Cómo podríamos hacerlo?

Una manera es utilizar lo que se llama redondeo gaussiano, que consiste en:

cuando la parte decimal es 0’5 se redondea al entero PAR más próximo.

Con esta otra regla (que es la que utiliza el programa Mathematica) nos quedaría:

Redondear[1’49]=1
Redondear[2’90]=3
Redondear[2’50]=2  (toca ir hacia bajo)
Redondear[1’51]=2
Redondear[2’10]=2
Redondear[1’50]=2  (toca ir hacia arriba)

y, como la cosa se compensa, el total de lo que me devolvéis coincide con el de lo que os presté, 12 euros. De hecho, esta forma de redondear se utiliza sobre todo en transacciones económicas, para evitar que alguien pueda aprovecharse aplicando el redondeo tradicional.

La enseñanza que quiero que saquéis es que a veces hay distintos procedimientos matemáticos que pueden aplicarse a una misma situación del mundo real, y que es importante saber elegir cuál puede resultar más apropiado.

1º de ESO: examen de números naturales

Lo voy a repetir hasta la extenuación:

1) Los exámenes son una herramienta de estudio: el profesor os marca en ellos lo que quiere que entendáis y sepáis hacer. Dedicarle un rato de esfuerzo individual en casa, a ser posible la misma tarde que lo habéis hecho en clase, es una de las mejores herramientas que tenéis para aprender matemáticas y os va a cundir más que muchas horas de estudio en otro momento.

2) Mi consejo:

- descargaos los dos exámenes (el vuestro y el del otro grupo),

- hacedlos, con calma, teniendo los apuntes a mano, centrándoos sobre todo en lo que no os haya salido al hacer el examen en clase,

- mirad la solución (este año las voy a colgar en vídeo; intentaré tenerlas para la tarde del sábado),

- preguntadme cualquier duda que os haya quedado. Pero insisto, es muy importante el trabajo y esfuerzo individual, en solitario.

Ahí los tenéis. La semana que viene vemos cómo os han salido:

Examen de 1º A	Solución
Examen de 1º C	Solución